Др вите значение выражение: 3. sin+2+g(7)+3.00s() 5.100-6.sin() 5) Ctg+300g-20gin²+¥2 6) (20075°-jin450)²- Sin² 2)1-6歲歲 = 2. Упростить выражение 2. a) sin 22+ / sind -cos2)² 6) (Sin 2+ cosa) =+ Ctg 2-sind-cost 3. Представьте в виде произведенные a) 1-20082; cos 5) sinf-sing; 6) cos 50°+ 008 10° 4. Докажите тождество a) sin 52 - Sin 32 Sint = 200942 б) 1-cosx+c0122 =Ctgd. Sin 22-find

Анализ задания

Задание состоит из нескольких математических выражений и задач, которые нужно упростить, вычислить или доказать. Предмет - математика, уровень сложности соответствует старшим классам школы или первым курсам университета.

Решение

1. Вычислите значение выражения:

\[3 \cdot \sin{\frac{\pi}{6}} + 2 \cdot tg{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} + 3 \cdot cos{\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\] \[5 \cdot tg{0} - 6 \cdot sin{\left(-\frac{\pi}{6}\right)}\]

Давайте вычислим значения тригонометрических функций: \[\sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}\] \[tg{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} = -1\] \[cos{\left(-\frac{\pi}{2}\right)} = 0\] \[tg{0} = 0\] \[sin{\left(-\frac{\pi}{6}\right)} = -\frac{1}{2}\]

Подставим эти значения в выражение: \[\frac{3 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0}{5 \cdot 0 - 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{\frac{3}{2} - 2}{3} = \frac{-\frac{1}{2}}{3} = -\frac{1}{6}\]

Ответ: -1/6

5. Упростите выражение:

\[ctg{\frac{2\pi}{6}} + 3 \cdot cos{\frac{\pi}{3}} - 2 \cdot sin^2{\frac{2\pi}{4}} + \frac{4}{3} \cdot tg^2{\frac{2\pi}{3}}\]

Вычислим значения тригонометрических функций: \[ctg{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\] \[cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}\] \[sin{\frac{\pi}{2}} = 1\] \[tg{\frac{2\pi}{3}} = -\sqrt{3}\]

Подставим эти значения в выражение: \[\frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot 1^2 + \frac{4}{3} \cdot (-\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{2} - 2 + \frac{4}{3} \cdot 3 = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{2} - 2 + 4 = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{7}{2}\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{7}{2}\)

6. Упростите выражение:

\[(\cos{75^\circ} - \sin{45^\circ})^2 - \sin^2{\frac{2\pi}{3}}\]

\[(\cos{75^\circ} - \sin{45^\circ})^2 - \sin^2{120^\circ}\]

Вычислим значения тригонометрических функций: \[\cos{75^\circ} = \cos{(45^\circ + 30^\circ)} = \cos{45^\circ} \cos{30^\circ} - \sin{45^\circ} \sin{30^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\] \[\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\sin{120^\circ} = \sin{\frac{2\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Подставим эти значения в выражение: \[\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{4}\right)^2 - \frac{3}{4} = \left(\frac{\sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{4}\right)^2 - \frac{3}{4} = \frac{6 - 6\sqrt{12} + 18}{16} - \frac{3}{4} = \frac{24 - 12\sqrt{3}}{16} - \frac{12}{16} = \frac{12 - 12\sqrt{3}}{16} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{4}\]

Ответ: \(\frac{3 - 3\sqrt{3}}{4}\)

2. Упростите выражение:

\[1 - 6 \cdot \sin{\frac{\pi}{12}} \cdot \cos{\frac{\pi}{12}}\]

Используем формулу двойного угла: \[\sin{2x} = 2 \cdot \sin{x} \cdot \cos{x}\]

Тогда: \[1 - 6 \cdot \sin{\frac{\pi}{12}} \cdot \cos{\frac{\pi}{12}} = 1 - 3 \cdot 2 \cdot \sin{\frac{\pi}{12}} \cdot \cos{\frac{\pi}{12}} = 1 - 3 \cdot \sin{\frac{\pi}{6}} = 1 - 3 \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}\]

Ответ: -1/2

2. Упростите выражение:

a) \[\sin{2\alpha} + (\sin{\alpha} - \cos{\alpha})^2 = \sin{2\alpha} + \sin^2{\alpha} - 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} + \cos^2{\alpha} = \sin{2\alpha} - \sin{2\alpha} + 1 = 1\]

Ответ: 1

б) \[\frac{(\sin{\alpha} + \cos{\alpha}) - 1}{ctg{\alpha} - \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha}} = \frac{\sin{\alpha} + \cos{\alpha} - 1}{\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} - \sin{\alpha} \cos{\alpha}} = \frac{\sin{\alpha} + \cos{\alpha} - 1}{\frac{\cos{\alpha} - \sin^2{\alpha} \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}} = \frac{(\sin{\alpha} + \cos{\alpha} - 1) \sin{\alpha}}{\cos{\alpha} (1 - \sin^2{\alpha})} = \frac{(\sin{\alpha} + \cos{\alpha} - 1) \sin{\alpha}}{\cos{\alpha} \cos^2{\alpha}} = \frac{(\sin{\alpha} + \cos{\alpha} - 1) \sin{\alpha}}{\cos^3{\alpha}}\]

3. Представьте в виде произведения:

a) \[1 - 2\cos{\alpha}\]

Это выражение нельзя представить в виде произведения без дополнительных преобразований.

б) \[\sin{6^\circ} - \sin{9^\circ}\]

Используем формулу разности синусов: \[\sin{x} - \sin{y} = 2 \cdot \sin{\frac{x - y}{2}} \cdot \cos{\frac{x + y}{2}}\]

\[\sin{6^\circ} - \sin{9^\circ} = 2 \cdot \sin{\frac{6^\circ - 9^\circ}{2}} \cdot \cos{\frac{6^\circ + 9^\circ}{2}} = 2 \cdot \sin{(-1.5^\circ)} \cdot \cos{(7.5^\circ)} = -2 \cdot \sin{1.5^\circ} \cdot \cos{7.5^\circ}\]

в) \[\cos{50^\circ} + \cos{10^\circ}\]

Используем формулу суммы косинусов: \[\cos{x} + \cos{y} = 2 \cdot \cos{\frac{x + y}{2}} \cdot \cos{\frac{x - y}{2}}\]

\[\cos{50^\circ} + \cos{10^\circ} = 2 \cdot \cos{\frac{50^\circ + 10^\circ}{2}} \cdot \cos{\frac{50^\circ - 10^\circ}{2}} = 2 \cdot \cos{30^\circ} \cdot \cos{20^\circ} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos{20^\circ} = \sqrt{3} \cdot \cos{20^\circ}\]

4. Докажите тождество:

a) \[\frac{\sin{5x} - \sin{3x}}{2\cos{4x}} = \sin{x}\]

Используем формулу разности синусов: \[\sin{5x} - \sin{3x} = 2 \cdot \sin{\frac{5x - 3x}{2}} \cdot \cos{\frac{5x + 3x}{2}} = 2 \cdot \sin{x} \cdot \cos{4x}\]

Тогда: \[\frac{\sin{5x} - \sin{3x}}{2\cos{4x}} = \frac{2 \cdot \sin{x} \cdot \cos{4x}}{2\cos{4x}} = \sin{x}\]

Тождество доказано.

б) \[\frac{1 - \cos{x} + \cos{2x}}{\sin{2x} - \sin{x}} = ctg{x}\]

\[\frac{1 - \cos{x} + 2\cos^2{x} - 1}{2\sin{x}\cos{x} - \sin{x}} = \frac{2\cos^2{x} - \cos{x}}{\sin{x}(2\cos{x} - 1)} = \frac{\cos{x}(2\cos{x} - 1)}{\sin{x}(2\cos{x} - 1)} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}} = ctg{x}\]

Тождество доказано.

Ответ: Смотри подробное решение выше.