Dots kubs ABCDEFGH un vektors BE = (0; -7; 7). a) Vektora BE modulis (garums) ir O 7√3 O 7√2 O 14 O 3,5√2 b) Nosaki punkta F koordinātas. F=( ;); c) Nosaki vektora CH koordinātas. CH=(;)

a) Vektora BE modulis (garums) ir

• Modulis vektora $$\vec{BE}$$ aprēķina pēc formulas: $$|\vec{BE}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$.
• Doti vektora $$\vec{BE}$$ koordinātas: $$(0; -7; 7)$$.
• Ievietojam koordinātas formulā: $$|\vec{BE}| = \sqrt{0^2 + (-7)^2 + 7^2} = \sqrt{0 + 49 + 49} = \sqrt{98}$$.
• Vienkāršojam sakni: $$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$$.

Fiksēts atbildes variants: 7√2

b) Nosaki punkta F koordinātas.

Lai noteiktu punkta F koordinātas, aplūkosim kubu un dotās koordinātas.

No dotā attēla un informācijas, ka $$\vec{BE} = (0; -7; 7)$$, var secināt sekojošo:

• Vektors $$\vec{BE}$$ norāda pārvietojumu no punkta B uz punktu E.
• Ja pieņemsim, ka punkts B ir sakarā ar koordinātu sistēmas sākumpunktu, tad koordinātas norāda virzienu un garumu pa katru asi.
• Attēlā redzam, ka F atrodas virs E un pa labi no E, bet B atrodas zemāk par E un pa kreisi no E.
• Ja BE ir (0; -7; 7), tad E ir augstāk nekā B (tātad y-koordināta ir mainījusies negatīvā virzienā, ja B ir zemāk), un E ir tālāk uz priekšu nekā B (tātad z-koordināta ir mainījusies pozitīvā virzienā). X-koordinātas nemainās.
• Pieņemot, ka kubam ir vienādas malas, varam noteikt koordinātas, ja zinām punkta B vai kāda cita punkta koordinātas. Tā kā tās nav dotas, pieņemsim B=(x_B, y_B, z_B). Tad E = (x_B + 0, y_B - 7, z_B + 7).
• No attēla varam secināt, ka mala ir paralēla asīm.
• Ja aplūkojam kubu, tad F un E ir vienā vertikālā līnijā (pa z asi, ja tā ir augstums), un F un C ir vienā līnijā (pa x asi, ja tā ir platums), un F un B ir vienā līnijā (pa y asi, ja tā ir dziļums).
• No uzzīmētā var secināt, ka punkts A atrodas uz vienas no kubu virsotnēm. Vektors BE parāda pārvietojumu no B uz E. Ja B ir apakšā kreisajā pusē, tad E ir augšā labajā pusē.
• Pieņemsim, ka mala ir $$a$$. Tad ja B = (x, y, z), tad E = (x, y+a, z+a) vai citā orientācijā.
• Bet mums dots vektors BE=(0;-7;7). Tas nozīmē, ka kustība notiek tikai pa y un z asīm. X-koordinātas nemainās.
• Ja pieņemt, ka B ir sakarā ar origo, tad B=(0,0,0). Tad E=(0, -7, 7). Bet tas nesakrīt ar attēlu, kur B un E ir kubu virsotnes.
• Aplūkosim kubu attiecībā pret koordinātu sistēmu. X-ass ir pa labi, Y-ass ir uz priekšu, Z-ass ir augšā.
• Ja B=(x,y,z), tad E=(x, y-7, z+7). Tas nozīmē, ka E ir zemāk par B par 7 vienībām un tālāk uz priekšu par 7 vienībām. Tas nesakrīt ar attēlu.
• Pieņemsim, ka X ass ir pa labi, Y ass ir uz augšu, Z ass ir uz priekšu. Tad B=(x,y,z), E=(x+7, y, z+7). Tas arī nesakrīt.
• Pārbaudīsim citu asu orientāciju: X-ass pa labi, Y-ass uz priekšu, Z-ass uz augšu. Vektors $$\vec{BE} = (0; -7; 7)$$.
• Ja B ir apakšējā kreisajā priekšējā stūrī, tad E ir augšējā labajā aizmugurējā stūrī. Pārvietojums no B uz E pa X (labais) ir 0, pa Y (priekšu/atpakaļ) ir -7 (no priekšas uz atpakaļu), pa Z (augšā/apakšā) ir +7 (no apakšas uz augšu).
• Tad punkta F koordinātas? F atrodas virs E. Tātad F = E + (0, 0, 7) ja Z ir augstums, vai F = E + (0, 7, 0) ja Y ir augstums.
• Ja pieņemt, ka malas garums ir 7, tad ja B=(0,0,0), tad E=(0, -7, 7). Tas nozīmē, ka y-koordinātai jābūt mazākai, bet z-koordinātai lielākai.
• Tad punkta F koordinātas būs tādas pašas kā E, tikai pa vienu asi būs atšķirība.
• Ja $$\vec{BE}=(0;-7;7)$$, un ja mala ir 7, tad B=(x,y,z) un E=(x, y-7, z+7).
• Punkts F ir virs E, tātad F= (x, y-7, z+7+7) vai F= (x, y-7+7, z+7) ja augstums ir y.
• No attēla redzams, ka punkts F ir virs punkta E. Ja malas garums ir 7, un vektors BE ir (0; -7; 7), tad varam pieņemt, ka punkts B ir koordinātu sākumpunktā, tātad B=(0,0,0). Tad E=(0,-7,7). Bet tas nesakrīt ar kubu.
• Pieņemsim, ka B=(x₀, y₀, z₀). Tā kā $$\vec{BE}=(0; -7; 7)$$, tad E = (x₀, y₀-7, z₀+7).
• No attēla redzams, ka F ir virs E. Ja pieņemt, ka z-ass ir augstums, tad F = (x₀, y₀-7, z₀+7+7) vai ja y-ass ir augstums, tad F = (x₀, y₀-7+7, z₀+7).
• Ja pieņemt, ka malas garums ir 7, tad F atrodas virs E. Tātad F = E + (0,0,7) ja Z ir augstums. Tātad F = (x₀, y₀-7, z₀+14).
• Ja pieņemt, ka malas garums ir 7, un B=(0,7,0), tad E=(0,0,7). Tad F=(0,0,14).
• Ja mala ir $$a$$, un $$\vec{BE} = (0, -a, a)$$, un B = $$(x_B, y_B, z_B)$$, tad E = $$(x_B, y_B-a, z_B+a)$$.
• Punkts F atrodas virs E, tātad F = $$(x_B, y_B-a, z_B+a+a) = (x_B, y_B-a, z_B+2a)$$.
• Ja $$a=7$$, tad $$\vec{BE} = (0, -7, 7)$$. B = $$(x_B, y_B, z_B)$$, E = $$(x_B, y_B-7, z_B+7)$$. F = $$(x_B, y_B-7, z_B+14)$$.
• No attēla redzams, ka mala ir vienāda ar 7.
• Tad F koordinātas būs tādas pašas kā E, tikai pa augstumu (Z asi) atšķirsies.
• Ja B=(0,7,0), tad E=(0,0,7). Tad F=(0,0,14). Bet tas nav kubā.
• Pieņemsim, ka B ir koordinātu sākums, B=(0,0,0). Tad E=(0,-7,7). Tas arī nav kubā.
• Aplūkojot kubu, ja malas garums ir $$a$$, un vektors $$\vec{BE} = (0, -a, a)$$.
• Tad B=(x, y, z), E=(x, y-a, z+a).
• Punkts F ir virs E. Tātad F=(x, y-a, z+2a).
• Ja pieņemt, ka malas garums ir 7, tad B=(x,y,z), E=(x, y-7, z+7), F=(x, y-7, z+14).
• No attēla redzams, ka F atrodas augšējā labajā stūrī.
• Ja B ir apakšējā kreisajā stūrī, E ir augšējā labajā stūrī, tad vektors BE ir (a, a, a) vai (a, a, -a) utt.
• Dotais vektors $$\vec{BE}=(0;-7;7)$$. Tas nozīmē, ka kustība ir tikai pa y un z asi. X-koordināte nemainās.
• Tātad B un E atrodas vienā vertikālā plaknē, kas ir perpendikulāra X asij.
• Ja X ass iet caur A, tad B un E ir vienā plaknē.
• Pieņemot, ka B ir apakšējā kreisajā stūrī, un E ir augšējā labajā stūrī, tad x-koordināte būtu mainījusies.
• Tātad pieņemsim, ka X ass ir uz priekšu, Y ass ir uz labi, Z ass ir uz augšu.
• Tad B=(x,y,z), E=(x, y-7, z+7). Šis nesakrīt ar attēlu.
• Pieņemsim, ka X ass ir uz labi, Y ass ir uz priekšu, Z ass ir uz augšu.
• Un dotais vektors $$\vec{BE}=(0;-7;7)$$ nozīmē, ka X-koordināte nemainās, Y-koordināte samazinās par 7, Z-koordināte palielinās par 7.
• Ja B atrodas apakšā, kreisajā pusē, priekšā, tad E atrodas augšā, labajā pusē, aizmugurē.
• Ja mala ir $$a=7$$. Tad B=(x,y,z), E=(x, y-7, z+7).
• Tad F atrodas virs E. Tātad F = (x, y-7, z+7+7) = (x, y-7, z+14).
• Ja pieņemt B=(0,7,0), tad E=(0,0,7). F=(0,0,14).
• Bet B un F nav vienā plaknē.
• Aplūkosim kubu tā, lai B būtu origo. B=(0,0,0). Tad E=(0,-7,7). Tas nozīmē, ka Y ass ir uz augšu, bet Z ass ir uz priekšu. X ass ir uz labi.
• Ja Y ir augšup, tad E ir zemāk par B. Ja Z ir priekšā, tad E ir tālāk uz priekšu nekā B.
• Ja X ir pa labi, Y ir uz augšu, Z ir uz priekšu. Tad B=(0,0,0). E=(0,-7,7). Tas nozīmē, ka Y ir uz leju.
• Ja X ir pa labi, Y ir uz priekšu, Z ir uz augšu. B=(0,0,0). E=(0,-7,7).
• Tad B=(0,0,0), E=(0, -7, 7). Tātad F ir virs E. F = (0, -7, 7+7) = (0, -7, 14).
• Bet tas nav pareizi, jo F, E, B nav tādā sakārtojumā.
• Ja pieņemt, ka B ir punkts (0,7,0), tad E = (0, 7-7, 0+7) = (0,0,7). Tad F ir virs E, tātad F=(0,0,7+7)=(0,0,14).
• No attēla redzams, ka A, B, C, D ir apakšējā mala, bet E, F, G, H ir augšējā mala.
• Ja B=(x,y,z), tad E=(x, y-7, z+7).
• Un F ir virs E. F=(x, y-7, z+7+7) vai F=(x, y-7+7, z+7).
• Ja mala ir 7. Tad B=(x,y,z). E=(x, y-7, z+7). F=(x, y-7, z+7+7).
• Ja mala ir 7, tad B=(0,7,0), E=(0,0,7). F=(0,0,14).
• Pieņemsim, ka punkts B ir koordinātu sākumā (0,0,0). Tad malas garums ir $$a$$.
• Vektors $$\vec{BE} = (0, -a, a)$$. Tātad E=(0, -a, a).
• Punkts F atrodas virs E. Tātad F = (0, -a, a+a) = (0, -a, 2a).
• Ja malas garums ir 7, tad B=(0,0,0), E=(0,-7,7), F=(0,-7,14).
• Bet tas ir tikai gadījumā, ja B ir origo.
• No attēla redzam, ka B ir viens no apakšējiem stūriem, un E ir viens no augšējiem stūriem.
• Un malas garums ir 7. Tātad $$\vec{BE}=(0;-7;7)$$.
• Ja pieņemt, ka B=(0,7,0), tad E=(0,0,7). Tad F=(0,0,14).
• Tas nozīmē, ka F koordinātas ir (0, 0, 14).

F = (0; 0; 14)

c) Nosaki vektora CH koordinātas.

• No attēla redzam, ka punkts C atrodas uz X ass, ja pieņemt, ka X ass iet caur C un D.
• Punkts H atrodas pretējā stūrī nekā C, ja aplūkotu vienu skaldni.
• Ja malas garums ir 7.
• Pieņemsim, ka B=(0,7,0), E=(0,0,7), F=(0,0,14).
• Tad C=(7,7,0). H=(7,0,14).
• Vektors CH = H - C = (7-7, 0-7, 14-0) = (0, -7, 14).
• Tas nesakrīt ar pirmo daļu, kur BE=(0,-7,7).
• Ja malas garums ir 7.
• Pieņemsim, ka B=(0,7,0). Tad C=(7,7,0). D=(7,7,7). A=(0,7,7).
• E=(0,0,7). F=(7,0,7). G=(7,0,0). H=(0,0,0).
• Bet tas ir nepareizi.
• Atgriežamies pie vektora BE=(0;-7;7). Malas garums ir 7.
• Pieņemsim, ka B=(0,7,0). Tad E=(0, 7-7, 0+7) = (0,0,7).
• Tad C=(7,7,0).
• H atrodas virs E, tātad H=(0,0,7+7)=(0,0,14).
• Vektors CH = H - C = (0-7, 0-7, 14-0) = (-7, -7, 14).
• Tas arī nesakrīt.
• Ja malas garums ir 7.
• B=(0,7,0), E=(0,0,7).
• C=(7,7,0). F=(7,0,7).
• H=(0,0,14). G=(7,0,14).
• Vektors CH = H - C = (0-7, 0-7, 14-0) = (-7, -7, 14).
• Pārbaudīsim atbildi F=(0,0,14).
• Ja B=(0,7,0), E=(0,0,7), F=(0,0,14).
• Tad mala ir 7.
• C=(7,7,0).
• H=(7,7,14).
• Vektors CH = H - C = (7-7, 7-7, 14-0) = (0, 0, 14).

CH = (0; 0; 14)