В данном случае необходимо написать окончание числительного в родительном падеже множественного числа.
Правильно: Пятнадцати смен.
Проверка за 10 секунд: Поставь вопрос «Сколько?» к существительному. Если отвечает родительный падеж множественного числа, окончание -И.
Доп. профит: Запомни: Чтобы не ошибаться в окончаниях, всегда определяй падеж и склонение существительного.