ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Теория на платформе Сириус, конспект. «Сириус» урок 60 Задание 10 На платформе выполнить рубрику «Проверь себя» (в конце урока) На высоте, проведённой к основанию равнобедренного треугольника, взята произвольная точка. Докажите, что она равноудалена от вершин основания. Задание 11 В равнобедренном треугольнике провели медиану к основанию и в получившихся треугольниках провели высоты к боковым сторонам равнобедренного треугольника. Докажите, что эти высоты равны. Задание 12 В неравнобедренном треугольнике АВС проведена медиана. Докажите, что высоты в получившихся треугольниках, проведённые к этой медиане, равны (рис. 13). Задание 13 В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = BC). с углом 45° при вершине В провели высоту СН к боковой стороне и биссектрису угла В, которая пересекла высоту СН в точке К. Найдите длину отрезка ВК, если основание треугольника равно 10.

Задание 10

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Это означает, что любая точка на этой высоте равноудалена от вершин основания, так как медиана делит основание пополам.

Задание 11

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных медианой. Высоты, проведённые к боковым сторонам из точки на медиане, будут равны, так как эти треугольники равны (по катету и острому углу).

Задание 12

В неравнобедренном треугольнике ABC проведена медиана. Нужно доказать, что высоты в получившихся треугольниках, проведённые к этой медиане, равны.

Пусть медиана, проведённая из вершины B, делит сторону AC пополам в точке M. Рассмотрим треугольники ABM и CBM. Высоты, проведённые из вершин A и C к медиане BM, будут равны, так как площадь каждого из этих треугольников равна половине площади треугольника ABC, и основание (медиана BM) у них общее.

Задание 13

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) с углом 45° при вершине B проведена высота CH к боковой стороне и биссектриса угла B, которая пересекла высоту CH в точке K. Найдите длину отрезка BK, если основание треугольника равно 10.

Давай разберем эту задачу по шагам:

1. В треугольнике ABC, AB = BC, и ∠B = 45°.
2. CH – высота, проведенная к боковой стороне AB.
3. BK – биссектриса угла B.
4. AC = 10 (основание треугольника).
5. Нужно найти длину BK.

Поскольку BK – биссектриса угла B, то ∠CBK = ∠ABK = 45°/2 = 22.5°.

Рассмотрим треугольник CBH. Так как CH – высота, то ∠CHB = 90°. Следовательно, ∠BCH = 90° - ∠B = 90° - 45° = 45°.

Теперь рассмотрим треугольник BCK. В этом треугольнике ∠CBK = 22.5° и ∠BCK = 45°. Следовательно, ∠BKC = 180° - (22.5° + 45°) = 112.5°.

Используем теорему синусов для треугольника BCK:

\(\frac{BK}{\sin(\angle BCK)} = \frac{BC}{\sin(\angle BKC)}\)

\(\frac{BK}{\sin(45°)} = \frac{BC}{\sin(112.5°)}\)

Чтобы найти BC, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC:

\(AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)\)

Так как AB = BC, обозначим их как x:

\(10^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos(45°)\)

\(100 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(100 = 2x^2 - x^2 \sqrt{2}\)

\(100 = x^2(2 - \sqrt{2})\)

\(x^2 = \frac{100}{2 - \sqrt{2}} \approx 170.71\)

\(x = BC = \sqrt{170.71} \approx 13.066\)

Теперь вернемся к теореме синусов для треугольника BCK:

\(\frac{BK}{\sin(45°)} = \frac{13.066}{\sin(112.5°)}\)

\(BK = \frac{13.066 \cdot \sin(45°)}{\sin(112.5°)}\)

\(BK = \frac{13.066 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin(112.5°)} \approx \frac{13.066 \cdot 0.707}{0.924} \approx 10.00\)

Значит, BK ≈ 10.