Домашнее задание 1. На рисунке MN || АС. а) Докажите, что ∆ MBN подобен Д АВС. б) Найдите MN, если АМ = 6 см, ВМ = 8 см, АС = 21 см. B M N C A 2. Даны стороны треугольников РКМ и АВС: РК = 16 см, КМ = 20 см, РМ = 28 см и АВ = 12 см, ВС = 15 см, АС = 21 см. Найдите отношение периметров этих треугольников. 3. Найдите площадь одного из подобных треугольников, если площадь второго равна 8, a две сходственные стороны равны 5 и 2. 4. Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 12 шагов от стены дома, на которой висит фонарь. Тень человека равна 8 шагам. На какой высоте (в метрах) висит фонарь? 5 12 шли ов Подг

1. На рисунке MN || AC.

а) Докажите, что \(\triangle MBN \) подобен \(\triangle ABC\).

Давай докажем, что \(\triangle MBN \) подобен \(\triangle ABC\).

Так как \(MN \parallel AC\), то:

• \(\angle BMN = \angle BAC\) как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей AB.
• \(\angle BNM = \angle BCA\) как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей BC.

Следовательно, \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\) по двум углам (по первому признаку подобия треугольников).

б) Найдите MN, если AM = 6 см, BM = 8 см, AC = 21 см.

Поскольку \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\), то соответствующие стороны пропорциональны. Значит:

\[\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC}\]

Нам известно, что BM = 8 см и AM = 6 см, следовательно, BA = BM + AM = 8 + 6 = 14 см. Также AC = 21 см. Подставим известные значения:

\[\frac{8}{14} = \frac{MN}{21}\]

Теперь найдем MN:

\[MN = \frac{8 \times 21}{14} = \frac{8 \times 3}{2} = 4 \times 3 = 12\]

Итак, MN = 12 см.

---

2. Даны стороны треугольников РКМ и АВС: РК = 16 см, КМ = 20 см, РМ = 28 см и АВ = 12 см, ВС = 15 см, АС = 21 см. Найдите отношение периметров этих треугольников.

Сначала найдем периметр каждого треугольника:

Периметр \(\triangle РКМ = РК + КМ + РМ = 16 + 20 + 28 = 64\) см.

Периметр \(\triangle АВС = АВ + ВС + АС = 12 + 15 + 21 = 48\) см.

Теперь найдем отношение периметров:

\[\frac{P_{РКМ}}{P_{АВС}} = \frac{64}{48} = \frac{16 \times 4}{16 \times 3} = \frac{4}{3}\]

Итак, отношение периметров треугольников РКМ и АВС равно \(\frac{4}{3}\).

---

3. Найдите площадь одного из подобных треугольников, если площадь второго равна 8, а две сходственные стороны равны 5 и 2.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон. Пусть \(S_1\) – площадь первого треугольника, а \(S_2\) – площадь второго треугольника, и пусть \(a_1\) и \(a_2\) – две сходственные стороны этих треугольников. Тогда:

\[\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2\]

Нам дано, что \(S_2 = 8\), \(a_1 = 5\), \(a_2 = 2\). Подставим эти значения:

\[\frac{S_1}{8} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\]

Теперь найдем \(S_1\):

\[S_1 = 8 \times \frac{25}{4} = 2 \times 25 = 50\]

Итак, площадь первого треугольника равна 50.

---

4. Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 12 шагов от стены дома, на которой висит фонарь. Тень человека равна 8 шагам. На какой высоте (в метрах) висит фонарь?

Пусть высота фонаря будет H. Рассмотрим подобные треугольники, образованные человеком, его тенью и высотой фонаря. Расстояние от человека до стены дома — 12 шагов, длина тени — 8 шагов. Тогда полное расстояние от основания тени до стены дома равно 12 + 8 = 20 шагов.

Составим пропорцию:

\[\frac{1.6}{8} = \frac{H}{20}\]

Теперь найдем H:

\[H = \frac{1.6 \times 20}{8} = \frac{1.6 \times 5}{2} = 0.8 \times 5 = 4\]

Итак, высота, на которой висит фонарь, равна 4 метра.

Ответ: 1) MN = 12 см; 2) \(\frac{4}{3}\); 3) 50; 4) 4 м

Отлично, ты справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!