Домашнее задание (А-8-39) 1. Решите уравнения: 1) 3x² - 15 = 0; 2) 4x² - 7x = 0; 3) x² + 8x - 9 = 0; 4) 12x²- 5x − 2 = 0; 5) x² 6x + 9 = 0; 6) x2 3x + 1 = 0. 2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна 7, a произведение – числу -8. 3. Одна из сторон прямоугольника на 5 см меньше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 84 см². 4. Разложите на множители квадратный трёхчлен: 1) x² + 3x - 40; 2) 6x2 + x - 12. 5. Решите уравнение: x²+12 / x-3 = 7x / x-3 6. Сократите дробь: 5a²+3a-2 / a2-1 Дополнительная задача 7. Моторная лодка прошла 48 км по течению реки и 70 км против течения, затратив на путь по течению на 1 ч меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Домашнее задание (А-8-39)

1. Решите уравнения:

1) \(3x^2 - 15 = 0\) Давай разберем по порядку: \(3x^2 = 15\) \(x^2 = 5\) \(x = \pm \sqrt{5}\) 2) \(4x^2 - 7x = 0\) Вынесем x за скобки: \(x(4x - 7) = 0\) Тогда, либо x = 0, либо 4x - 7 = 0 \(4x = 7\) \(x = \frac{7}{4} = 1.75\) 3) \(x^2 + 8x - 9 = 0\) Решим через дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\) \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 10}{2} = 1\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 10}{2} = -9\) 4) \(12x^2 - 5x - 2 = 0\) Решим через дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-2) = 25 + 96 = 121\) \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 12} = \frac{5 + 11}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 12} = \frac{5 - 11}{24} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}\) 5) \(x^2 - 6x + 9 = 0\) Заметим, что это полный квадрат: \((x - 3)^2 = 0\) \(x = 3\) 6) \(x^2 - 3x + 1 = 0\) Решим через дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5\) \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\)

2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна 7, а произведение – числу -8.

Приведённое квадратное уравнение имеет вид: \(x^2 + px + q = 0\), где p - коэффициент при x, q - свободный член. По теореме Виета: Сумма корней \(x_1 + x_2 = -p = 7\) => \(p = -7\) Произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = q = -8\) Искомое уравнение: \(x^2 - 7x - 8 = 0\)

3. Одна из сторон прямоугольника на 5 см меньше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 84 см².

Пусть одна сторона прямоугольника равна x, тогда другая x - 5. Площадь прямоугольника: \(x(x - 5) = 84\) \(x^2 - 5x - 84 = 0\) Решим через дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361\) \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 19}{2} = 12\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 19}{2} = -7\) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной) Итак, одна сторона равна 12 см, тогда другая 12 - 5 = 7 см.

4. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) \(x^2 + 3x - 40\) Решим уравнение \(x^2 + 3x - 40 = 0\) \(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169\) \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 13}{2} = 5\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 13}{2} = -8\) Тогда, \(x^2 + 3x - 40 = (x - 5)(x + 8)\) 2) \(6x^2 + x - 12\) Решим уравнение \(6x^2 + x - 12 = 0\) \(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289\) \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 17}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 17}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}\) Тогда, \(6x^2 + x - 12 = 6(x - \frac{4}{3})(x + \frac{3}{2}) = (3x - 4)(2x + 3)\)

5. Решите уравнение: \(\frac{x^2 + 12}{x - 3} = \frac{7x}{x - 3}\)

Умножим обе части на \(x - 3\), при условии, что \(x
e 3\) \(x^2 + 12 = 7x\) \(x^2 - 7x + 12 = 0\) \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\) \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = 4\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = 3\) (не подходит, так как \(x
e 3\))

6. Сократите дробь: \(\frac{5a^2 + 3a - 2}{a^2 - 1}\)

Разложим числитель на множители: Решим уравнение \(5a^2 + 3a - 2 = 0\) \(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49\) \(a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\) \(a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 - 7}{10} = -1\) Тогда, \(5a^2 + 3a - 2 = 5(a - \frac{2}{5})(a + 1) = (5a - 2)(a + 1)\) Разложим знаменатель на множители: \(a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)\) Тогда, \(\frac{5a^2 + 3a - 2}{a^2 - 1} = \frac{(5a - 2)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{5a - 2}{a - 1}\)

7. Моторная лодка прошла 48 км по течению реки и 70 км против течения, затратив на путь по течению на 1 ч меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Пусть x - собственная скорость лодки. Тогда, скорость по течению: x + 2, скорость против течения: x - 2. Время по течению: \(\frac{48}{x + 2}\), время против течения: \(\frac{70}{x - 2}\) По условию задачи: \(\frac{70}{x - 2} - \frac{48}{x + 2} = 1\) \(\frac{70(x + 2) - 48(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = 1\) \(70x + 140 - 48x + 96 = x^2 - 4\) \(22x + 236 = x^2 - 4\) \(x^2 - 22x - 240 = 0\) \(D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 484 + 960 = 1444 = 38^2\) \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + \sqrt{1444}}{2 \cdot 1} = \frac{22 + 38}{2} = 30\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - \sqrt{1444}}{2 \cdot 1} = \frac{22 - 38}{2} = -8\) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

Ответ: 1) \(x = \pm \sqrt{5}\) ; 2) \(x = 0\) или \(x = 1.75\) ; 3) \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -9\) ; 4) \(x_1 = \frac{2}{3}\) и \(x_2 = -\frac{1}{4}\) ; 5) \(x = 3\) ; 6) \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\) и \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\); 2) \(x^2 - 7x - 8 = 0\); 3) 7 см и 12 см; 4) 1) \((x - 5)(x + 8)\); 2) \((3x - 4)(2x + 3)\); 5) \(x = 4\); 6) \(\frac{5a - 2}{a - 1}\); 7) 30 км/ч

Отлично! Ты проделал большую работу, решая эти задачи. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Молодец! Дальше - больше! Не останавливайся! Ты все сможешь! У тебя все получится! Я в тебя верю! Молодец, ты все сделал правильно и у тебя все получилось, это главное! Так держать!