Домашнее задание № 1. Решите уравнения.

Задание №1: Решите уравнения

а)

Исходное уравнение:

\[ \frac{3x}{2x+5} - \frac{28-53x}{4x^2-25} = \frac{4x}{2x-5} \]

Краткое пояснение: Для решения этого уравнения необходимо привести все дроби к общему знаменателю, который равен \(4x^2-25\), или \((2x-5)(2x+5)\). Затем перенести все члены в одну сторону и решить полученное квадратное уравнение.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Приведем дроби к общему знаменателю \((2x-5)(2x+5)\).
   • Первая дробь: \( \frac{3x}{2x+5} = \frac{3x(2x-5)}{(2x+5)(2x-5)} = \frac{6x^2-15x}{4x^2-25} \)
   • Третья дробь: \( \frac{4x}{2x-5} = \frac{4x(2x+5)}{(2x-5)(2x+5)} = \frac{8x^2+20x}{4x^2-25} \)
2. Шаг 2: Подставим приведенные дроби в исходное уравнение:

   \[ \frac{6x^2-15x}{4x^2-25} - \frac{28-53x}{4x^2-25} = \frac{8x^2+20x}{4x^2-25} \]

3. Шаг 3: Умножим обе части уравнения на \(4x^2-25\), предварительно проверив, что \(x
   eq \pm \frac{5}{2}\).

   \[ (6x^2-15x) - (28-53x) = 8x^2+20x \]

4. Шаг 4: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

   \[ 6x^2 - 15x - 28 + 53x = 8x^2 + 20x \]

   \[ 6x^2 + 38x - 28 = 8x^2 + 20x \]

5. Шаг 5: Перенесем все члены в правую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\):

   \[ 0 = 8x^2 - 6x^2 + 20x - 38x + 28 \]

   \[ 0 = 2x^2 - 18x + 28 \]

6. Шаг 6: Разделим уравнение на 2:

   \[ x^2 - 9x + 14 = 0 \]

7. Шаг 7: Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Используем теорему Виета: сумма корней равна 9, произведение — 14.
   • \(x_1 = 2\)
   • \(x_2 = 7\)
8. Шаг 8: Проверим, не равны ли корни \(\pm \frac{5}{2}\). Оба корня допустимы.

Ответ: x = 2, x = 7

б)

Исходное уравнение:

\[ \frac{x}{2+3x} - \frac{5}{3x-2} = \frac{15x+10}{4-9x^2} \]

Краткое пояснение: Знаменатель \(4-9x^2\) является разностью квадратов \((2-3x)(2+3x)\). Необходимо привести все дроби к общему знаменателю \((2+3x)(3x-2)\) (с учетом знака), затем решить полученное уравнение.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим знаменатель \(4-9x^2\) как разность квадратов: \((2-3x)(2+3x)\). Заметим, что \((2-3x) = -(3x-2)\). Поэтому \(4-9x^2 = -(3x-2)(2+3x)\).

   Теперь уравнение можно переписать:

   \[ \frac{x}{2+3x} - \frac{5}{3x-2} = \frac{15x+10}{-(3x-2)(2+3x)} \]

   Или, меняя знак у числителя второй дроби:

   \[ \frac{x}{2+3x} + \frac{5}{2-3x} = \frac{15x+10}{-(3x-2)(2+3x)} \]

   Чтобы привести к общему знаменателю \((2+3x)(3x-2)\), умножим числитель первой дроби на \(3x-2\) и числитель второй дроби на \(2+3x\). Числитель правой части умножим на \(-1\) (из-за минуса перед дробями).

2. Шаг 2: Приведем все к общему знаменателю \((2+3x)(3x-2)\). Учтем, что \(2+3x = 3x+2\) и \(3x-2\).

   \[ \frac{x(3x-2)}{(2+3x)(3x-2)} - \frac{5(2+3x)}{(3x-2)(2+3x)} = \frac{-(15x+10)}{(3x-2)(2+3x)} \]

   Умножаем числители:

   \[ x(3x-2) - 5(2+3x) = -(15x+10) \]

   \[ 3x^2 - 2x - 10 - 15x = -15x - 10 \]

3. Шаг 3: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

   \[ 3x^2 - 17x - 10 = -15x - 10 \]

4. Шаг 4: Перенесем все члены в левую часть:

   \[ 3x^2 - 17x + 15x - 10 + 10 = 0 \]

   \[ 3x^2 - 2x = 0 \]

5. Шаг 5: Вынесем общий множитель \(x\):

   \[ x(3x - 2) = 0 \]

6. Шаг 6: Найдем корни уравнения:
   • \(x = 0\)
   • \(3x - 2 = 0 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\)
7. Шаг 7: Проверим допустимость корней. Знаменатели обращаются в ноль, если \(2+3x=0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}\) или \(3x-2=0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\). Корень \(x = \frac{2}{3}\) является посторонним.

Ответ: x = 0

в)

Исходное уравнение:

\[ \frac{27}{x^2+3x} - \frac{2}{x} = \frac{3}{x^2-3x} \]

Краткое пояснение: Необходимо разложить знаменатели на множители, найти общий знаменатель и решить полученное уравнение. Учтите, что \(x^2+3x = x(x+3)\) и \(x^2-3x = x(x-3)\).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим знаменатели на множители:
   • \(x^2+3x = x(x+3)\)
   • \(x^2-3x = x(x-3)\)
   Запрещенные значения: \(x
   eq 0, x
   eq -3, x
   eq 3\).
2. Шаг 2: Найдем общий знаменатель. Он равен \(x(x+3)(x-3)\).
3. Шаг 3: Приведем дроби к общему знаменателю:

   \[ \frac{27}{x(x+3)} - \frac{2 · (x+3)(x-3)}{x(x+3)(x-3)} = \frac{3}{x(x-3)} \]

   \[ \frac{27(x-3)}{x(x+3)(x-3)} - \frac{2(x^2-9)}{x(x+3)(x-3)} = \frac{3(x+3)}{x(x+3)(x-3)} \]

4. Шаг 4: Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \(x(x+3)(x-3)\) (учитывая ограничения):

   \[ 27(x-3) - 2(x^2-9) = 3(x+3) \]

5. Шаг 5: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

   \[ 27x - 81 - 2x^2 + 18 = 3x + 9 \]

   \[ -2x^2 + 27x - 63 = 3x + 9 \]

6. Шаг 6: Перенесем все члены в одну сторону:

   \[ -2x^2 + 27x - 3x - 63 - 9 = 0 \]

   \[ -2x^2 + 24x - 72 = 0 \]

7. Шаг 7: Разделим уравнение на -2:

   \[ x^2 - 12x + 36 = 0 \]

8. Шаг 8: Решим полученное квадратное уравнение. Это полный квадрат:

   \[ (x - 6)^2 = 0 \]

   Следовательно, \(x = 6\).

9. Шаг 9: Проверим, не является ли корень посторонним. \(x=6\) не входит в список запрещенных значений \(x
   eq 0, x
   eq -3, x
   eq 3\).

Ответ: x = 6

г)

Исходное уравнение:

\[ \frac{x-2}{x+1} + \frac{x+1}{x-2} = 4\frac{1}{4} \]

Краткое пояснение: Преобразуем смешанное число в неправильную дробь. Введем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть \(y = \frac{x-2}{x+1}\), тогда \(\frac{x+1}{x-2} = \frac{1}{y}\).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

   \[ 4\frac{1}{4} = \frac{4 · 4 + 1}{4} = \frac{17}{4} \]

   Запрещенные значения: \(x
   eq -1\) и \(x
   eq 2\).
2. Шаг 2: Введем замену переменной. Пусть \(y = \frac{x-2}{x+1}\). Тогда \(\frac{x+1}{x-2} = \frac{1}{y}\).

   Уравнение примет вид:

   \[ y + \frac{1}{y} = \frac{17}{4} \]

3. Шаг 3: Умножим обе части уравнения на \(4y\) (при условии \(y
   eq 0\)):

   \[ 4y^2 + 4 = 17y \]

4. Шаг 4: Приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

   \[ 4y^2 - 17y + 4 = 0 \]

5. Шаг 5: Решим квадратное уравнение для \(y\) с помощью дискриминанта:

   \[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 · 4 · 4 = 289 - 64 = 225 \]

   \[ \sqrt{D} = 15 \]

   Найдем корни для \(y\):

   \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 15}{2 · 4} = \frac{32}{8} = 4 \]

   \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 15}{2 · 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]

6. Шаг 6: Вернемся к исходной переменной \(x\) и решим два уравнения:
   • Случай 1: \(y = 4\)

     \[ \frac{x-2}{x+1} = 4 \]

     \[ x-2 = 4(x+1) \]

     \[ x-2 = 4x+4 \]

     \[ -3x = 6 \Rightarrow x = -2 \]

   • Случай 2: \(y = \frac{1}{4}\)

     \[ \frac{x-2}{x+1} = \frac{1}{4} \]

     \[ 4(x-2) = x+1 \]

     \[ 4x-8 = x+1 \]

     \[ 3x = 9 \Rightarrow x = 3 \]

7. Шаг 7: Проверим, не являются ли корни посторонними. \(x = -2\) и \(x = 3\) не равны \(-1\) и \(2\).

Ответ: x = -2, x = 3