1. Докажите тождество: a) cos 2x + sin²x sin 2x = ctg x; б) sin 9x + sin 10x + sin 11x + sin 12x = 4 cos cos x sin .

Ответ:

a) Докажем тождество: \[\frac{\cos 2x + \sin^2 x}{\sin 2x} = \frac{3}{2} \cdot \operatorname{ctg} x\]

Пошаговое решение:

1. Преобразуем числитель, используя формулу двойного угла для косинуса: \[\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\] Тогда числитель принимает вид: \[\cos^2 x - \sin^2 x + \sin^2 x = \cos^2 x\]
2. Преобразуем знаменатель, используя формулу двойного угла для синуса: \[\sin 2x = 2 \sin x \cos x\]
3. Теперь левая часть уравнения принимает вид: \[\frac{\cos^2 x}{2 \sin x \cos x}\]
4. Сократим дробь на \(\cos x\): \[\frac{\cos x}{2 \sin x}\]
5. Используем определение котангенса: \[\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}\]
6. Тогда получаем: \[\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{2} \operatorname{ctg} x\]

Ответ: \(\frac{1}{2} \operatorname{ctg} x\)

б) Докажем тождество: \[\sin 9x + \sin 10x + \sin 11x + \sin 12x = 4 \cos \frac{x}{2} \cos x \sin \frac{21x}{2}\]

Пошаговое решение:

1. Сгруппируем синусы: \[(\sin 9x + \sin 12x) + (\sin 10x + \sin 11x)\]
2. Преобразуем каждую скобку по формуле суммы синусов: \[\sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}\]
3. Получаем: \[2 \sin \frac{21x}{2} \cos \frac{-3x}{2} + 2 \sin \frac{21x}{2} \cos \frac{-x}{2}\]
4. Вынесем общий множитель за скобки: \[2 \sin \frac{21x}{2} \left(\cos \frac{-3x}{2} + \cos \frac{-x}{2}\right)\]
5. Учитывая четность косинуса: \[2 \sin \frac{21x}{2} \left(\cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)\]
6. Преобразуем сумму косинусов в произведение: \[\cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}\]
7. Получаем: \[2 \sin \frac{21x}{2} \cdot 2 \cos x \cos \frac{x}{2}\]
8. Упростим: \[4 \cos \frac{x}{2} \cos x \sin \frac{21x}{2}\]

Ответ: \(4 \cos \frac{x}{2} \cos x \sin \frac{21x}{2}\)