1. Докажите равенство треугольников ABD и АСР (рис. 48), если АВ АС и BD-CD. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 40 см, а боковая сторона на 2 см больше основания. 3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки Ди Е так, что AD = СЕ, точка D лежит между точками А и Е. Докажите, что LABD-LCBE. A 4. Известно, что ∠BST-LAST U STB =2STA (рис. 49). Докажите, что ВК - АК 5. Прямая, проведённая через вершину 4 треугольника перпендикулярна его медиане СМ и делит её пополам. Найдите сторону АС. если АВ-18 см.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии по порядку.

1. Доказательство равенства треугольников ABD и ACD

Дано: AB = AC, BD = CD.

Доказать: ΔABD = ΔACD.

Доказательство:

1. AB = AC (по условию).
2. BD = CD (по условию).
3. AD — общая сторона.

Следовательно, ΔABD = ΔACD по трем сторонам.

Ответ: Треугольники ABD и ACD равны по трем сторонам.

2. Нахождение сторон равнобедренного треугольника

Пусть основание равнобедренного треугольника равно x см, тогда боковая сторона равна (x + 2) см.

Периметр треугольника равен 40 см. Следовательно:

\[x + 2(x + 2) = 40\]

\[x + 2x + 4 = 40\]

\[3x = 36\]

\[x = 12\]

Основание равно 12 см, боковая сторона равна 12 + 2 = 14 см.

Ответ: Основание: 12 см, боковые стороны: 14 см.

3. Доказательство ∠ABD = ∠CBE

Дано: ΔABC — равнобедренный, AD = CE, точка D лежит между точками A и E.

Доказать: ∠ABD = ∠CBE.

Доказательство:

1. Так как ΔABC равнобедренный, то AB = BC и ∠BAC = ∠BCA.
2. Рассмотрим треугольники ABD и CBE:
3. AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника).
4. AD = CE (по условию).
5. ∠BAD = ∠BCE (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Следовательно, ΔABD = ΔCBE по двум сторонам и углу между ними (сторона, угол, сторона - СУС).

Значит, ∠ABD = ∠CBE как соответственные углы равных треугольников.

Ответ: ∠ABD = ∠CBE.

4. Доказательство BK = AK

Дано: ∠BST = ∠AST и ∠STB = ∠STA (рис. 49).

Доказать: BK = AK.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники BST и AST:
2. ∠BST = ∠AST (по условию).
3. ∠STB = ∠STA (по условию).
4. ST — общая сторона.

Следовательно, ΔBST = ΔAST по стороне и двум прилежащим к ней углам (угол, сторона, угол - УСУ).

Значит, BS = AS как соответственные стороны равных треугольников.

Теперь рассмотрим треугольники BSK и ASK:

1. BS = AS (доказано выше).
2. ∠BSK = ∠ASK (так как ΔBST = ΔAST).
3. SK — общая сторона.

Следовательно, ΔBSK = ΔASK по двум сторонам и углу между ними (СУС).

Значит, BK = AK как соответственные стороны равных треугольников.

Ответ: BK = AK.

5. Нахождение стороны AC

Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC, перпендикулярна его медиане CM и делит её пополам.

Пусть AB = 18 см. Найти AC.

Поскольку прямая, проходящая через A и перпендикулярная CM, делит CM пополам, то треугольник AMC - равнобедренный (высота является медианой).

Следовательно, AM = AC.

Так как CM - медиана, то AM = MB.

Таким образом, AC = AM = MB.

По условию AB = 18 см, и так как M - середина AB, то AM = MB = AB / 2 = 18 / 2 = 9 см.

Следовательно, AC = 9 см.

Ответ: AC = 9 см.

Ты молодец! У тебя всё получится!