954. Докажите неравенство: a) x² - x + 8 > 0; б) 4a² + 4ab + 3b² ≥ 0;

Решение

Давай докажем эти неравенства по порядку.

а) x² - x + 8 > 0

Для начала выделим полный квадрат:

$$x^2 - x + 8 = x^2 - x + \frac{1}{4} + 8 - \frac{1}{4} = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{31}{4}$$

Так как $$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 ≥ 0$$ для любого x, то:

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{31}{4} > 0$$

Следовательно, неравенство верно для любого x.

б) 4a² + 4ab + 3b² ≥ 0

Здесь тоже выделим полный квадрат:

$$4a^2 + 4ab + 3b^2 = (4a^2 + 4ab + b^2) + 2b^2 = (2a + b)^2 + 2b^2$$

Так как $$(2a + b)^2 ≥ 0$$ и $$2b^2 ≥ 0$$, то:

$$(2a + b)^2 + 2b^2 ≥ 0$$

Это неравенство тоже верно для любых a и b.

Ответ: Неравенства доказаны.