Докажите формулу Герона для площади треугольника: если стороны треугольника равны a, b и c, а p — его полупериметр, то S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).

Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором \(AB=c\), \(BC=a\), \(AC=b\). Пусть высота \(CH=h\) падает на сторону \(AB\), причём \(AH=y\), \(HB=x\). Тогда \(x+y=c\).

По теореме Пифагора:

\[a^2-x^2=h^2,\qquad b^2-y^2=h^2.\]

Следовательно,

\[y^2-x^2=b^2-a^2,\]

откуда

\[(y-x)(y+x)=b^2-a^2.\]

Так как \(y+x=c\), получаем:

\[y-x=\frac{b^2-a^2}{c}.\]

Складывая равенства \(y+x=c\) и \(y-x=\frac{b^2-a^2}{c}\), находим:

\[y=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}.\]

Теперь вычислим квадрат высоты:

\[h^2=b^2-y^2=\left(b+y\right)\left(b-y\right).\]

Подставляя найденное значение \(y\), получаем:

\[h^2=\frac{(b+c)^2-a^2}{2c}\cdot\frac{a^2-(b-c)^2}{2c}.\]

Разложим разности квадратов на множители:

\[h^2=\frac{(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b)}{4c^2}.\]

Обозначим полупериметр треугольника через \(p\):

\[p=\frac{a+b+c}{2}.\]

Тогда

\[a+b+c=2p,\quad b+c-a=2(p-a),\quad a+c-b=2(p-b),\quad a+b-c=2(p-c).\]

Следовательно,

\[h^2=\frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^2}.\]

Так как площадь треугольника равна \(S=\frac12hc\), то

\[S=\frac12c\cdot\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}.\]

Итак,

\[\boxed{S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}.\]