Докажите, что: a) 9a + 1/a >= 6 при a > 0; б) 25b + 1/b <= -10 при b < 0.

а) Докажем, что (9a + \frac{1}{a} \ge 6) при (a > 0).

Воспользуемся неравенством Коши для двух положительных чисел: среднее арифметическое не меньше среднего геометрического.

Для чисел (9a) и (\frac{1}{a}) имеем:

$$\frac{9a + \frac{1}{a}}{2} \ge \sqrt{9a \cdot \frac{1}{a}}$$ $$\frac{9a + \frac{1}{a}}{2} \ge \sqrt{9}$$ $$\frac{9a + \frac{1}{a}}{2} \ge 3$$

Умножим обе части неравенства на 2:

$$9a + \frac{1}{a} \ge 6$$

Таким образом, неравенство доказано.

б) Докажем, что (25b + \frac{1}{b} \le -10) при (b < 0).

Пусть (c = -b), тогда (c > 0). Неравенство можно переписать как:

$$-25c - \frac{1}{c} \le -10$$

Или, умножив обе части на -1 (и меняя знак неравенства):

$$25c + \frac{1}{c} \ge 10$$

Применим неравенство Коши для чисел (25c) и (\frac{1}{c}), которые оба положительны:

$$\frac{25c + \frac{1}{c}}{2} \ge \sqrt{25c \cdot \frac{1}{c}}$$ $$\frac{25c + \frac{1}{c}}{2} \ge \sqrt{25}$$ $$\frac{25c + \frac{1}{c}}{2} \ge 5$$

Умножим обе части на 2:

$$25c + \frac{1}{c} \ge 10$$

Теперь вернемся к переменной (b):

$$-25b - \frac{1}{b} \ge 10$$

Умножим обе части на -1 (и меняя знак неравенства):

$$25b + \frac{1}{b} \le -10$$

Таким образом, неравенство доказано.