4. Докажите, что значение выражения 5 3-2/11 + 3+21/11 является ра- циональным числом.

Для доказательства, что значение выражения является рациональным числом, необходимо упростить данное выражение:

$$\frac{5}{3-2\sqrt{11}} + \frac{5}{3+2\sqrt{11}}$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{5(3+2\sqrt{11}) + 5(3-2\sqrt{11})}{(3-2\sqrt{11})(3+2\sqrt{11})}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{15+10\sqrt{11} + 15 - 10\sqrt{11}}{(3-2\sqrt{11})(3+2\sqrt{11})}$$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$\frac{30}{(3-2\sqrt{11})(3+2\sqrt{11})}$$

Раскроем скобки в знаменателе, используя формулу разности квадратов: $$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$$

$$\frac{30}{3^2 - (2\sqrt{11})^2} = \frac{30}{9 - 4 \cdot 11} = \frac{30}{9 - 44} = \frac{30}{-35} = -\frac{6}{7}$$

Так как $$-\frac{6}{7}$$ является рациональным числом, то значение выражения является рациональным числом.

Ответ: Значение выражения является рациональным числом, что и требовалось доказать.