Доказательство

а) ∠BAC=∠ACD и ∠BCA = ∠DAC

Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором ∠BAC=∠ACD и ∠BCA = ∠DAC.

1. Рассмотрим прямые AB и CD и секущую AC.

   Так как ∠BAC = ∠ACD, а эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC, то AB || CD (по признаку параллельности прямых).

2. Рассмотрим прямые BC и AD и секущую AC.

   Так как ∠BCA = ∠DAC, а эти углы являются накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC, то BC || AD (по признаку параллельности прямых).

3. Вывод.

   Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

б) AB || CD, ∠A = ∠C

Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB || CD и ∠A = ∠C.

1. Проведем диагональ AC.

   Рассмотрим треугольники ABC и CDA.

2. Сумма углов в четырехугольнике.

   Сумма углов в четырехугольнике ABCD равна 360°. То есть, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.

3. Найдем сумму углов ∠B и ∠D.

   Так как ∠A = ∠C, то ∠B + ∠D = 360° - (∠A + ∠C) = 360° - 2∠A.

4. Накрест лежащие углы.

   Так как AB || CD, то ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущих AC).

5. Равенство треугольников ABC и CDA.

   Если ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC, то сумма углов ∠ABC = ∠CDA. Так как сумма ∠B + ∠D = 360° - 2∠A, а ∠A = ∠C, то ∠B = ∠D. Значит, треугольники ABC и CDA равны.

6. Равенство сторон BC и AD.

   Раз треугольники ABC и CDA равны, то BC = AD, т.е. противоположные стороны равны.

7. Вывод.

   Раз противоположные стороны AB и CD параллельны и противоположные стороны BC и AD равны, то четырехугольник ABCD — параллелограмм.