Докажите, что в подобных треугольниках высоты, проведённые из вершин соответствующих углов, относятся как соответствующие стороны.

Пусть \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\), а \(AH\) и \(A_1H_1\) — высоты, проведённые из вершин соответствующих углов \(A\) и \(A_1\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(A_1B_1H_1\). У них \(\angle H=\angle H_1=90^\circ\), а \(\angle B=\angle B_1\), поскольку исходные треугольники подобны. Следовательно, прямоугольные треугольники подобны по двум углам.

Поэтому отношения соответствующих сторон равны:

\[\frac{AH}{A_1H_1}=\frac{AB}{A_1B_1}.\]

Аналогично для высот, проведённых из вершин \(B\) и \(B_1\), а также из вершин \(C\) и \(C_1\):

\[\frac{BH}{B_1H_1}=\frac{BC}{B_1C_1},\qquad \frac{CK}{C_1K_1}=\frac{CA}{C_1A_1}.\]

Таким образом, высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.