1080 Докажите, что углы А и С треугольника АВС равны, если A(-5; 6), B(3; -9) и С (-12; -17).

Чтобы доказать, что углы A и C треугольника ABC равны, нужно показать, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC (то есть AB = BC). Сначала найдем длины сторон AB и BC, используя формулу расстояния между двумя точками \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

1) Длина стороны AB: $$AB = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (-9 - 6)^2} = \sqrt{(3 + 5)^2 + (-15)^2} = \sqrt{8^2 + (-15)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$$

2) Длина стороны BC: $$BC = \sqrt{(-12 - 3)^2 + (-17 - (-9))^2} = \sqrt{(-15)^2 + (-17 + 9)^2} = \sqrt{(-15)^2 + (-8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$

Так как AB = BC = 17, то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В треугольнике ABC основанием является AC, следовательно, углы A и C равны.

Ответ: Так как AB = BC = 17, то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC, следовательно, углы А и С равны.