947 Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: a) A (0; 1), B (1; −4), C (5; 2); б) А (-4; 1), B(-2; 4), C (0; 1). a) A (-3; −1), B (1; −1), C (1; −3), D(-3; −3); б) А (4; 1), В (3; 5), C (-1; 4), D (0; 0).

Приступим к решению задач по геометрии, как и подобает настоящему учителю математики.

a) Доказать, что треугольник ABC равнобедренный, и найти его площадь, если вершины имеют координаты A(0; 1), B(1; -4), C(5; 2).

1. Чтобы доказать, что треугольник равнобедренный, нужно показать, что две его стороны равны. Найдем длины сторон AB, BC и AC, используя формулу расстояния между двумя точками: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
   • $$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (-4-1)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$$
   • $$BC = \sqrt{(5-1)^2 + (2-(-4))^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$
   • $$AC = \sqrt{(5-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$$

   Так как AB = AC = $$\sqrt{26}$$, треугольник ABC равнобедренный.

2. Чтобы найти площадь треугольника, можно использовать формулу Герона или метод координат. Воспользуемся методом координат: $$S = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|$$ $$S = \frac{1}{2} |(0(-4 - 2) + 1(2 - 1) + 5(1 - (-4)))| = \frac{1}{2} |(0 + 1 + 25)| = \frac{1}{2} |26| = 13$$

   Площадь треугольника равна 13 квадратным единицам.

Ответ: Треугольник ABC равнобедренный, площадь равна 13.

б) Доказать, что треугольник ABC равнобедренный, и найти его площадь, если вершины имеют координаты A(-4; 1), B(-2; 4), C(0; 1).

1. • $$AB = \sqrt{(-2-(-4))^2 + (4-1)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$
   • $$BC = \sqrt{(0-(-2))^2 + (1-4)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$
   • $$AC = \sqrt{(0-(-4))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{16 + 0} = \sqrt{16} = 4$$

   Так как AB = BC = $$\sqrt{13}$$, треугольник ABC равнобедренный.

2. Чтобы найти площадь треугольника, можно использовать формулу Герона или метод координат. Воспользуемся методом координат: $$S = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|$$ $$S = \frac{1}{2} |(-4(4 - 1) + (-2)(1 - 1) + 0(1 - 4))| = \frac{1}{2} |(-12 + 0 + 0)| = \frac{1}{2} |-12| = 6$$

   Площадь треугольника равна 6 квадратным единицам.

Ответ: Треугольник ABC равнобедренный, площадь равна 6.

Рассмотрим четырехугольники, заданные координатами вершин.

a) A(-3; -1), B(1; -1), C(1; -3), D(-3; -3)

Чтобы определить, является ли данный четырехугольник какой-либо известной фигурой, найдем длины его сторон и проверим, являются ли они параллельными или перпендикулярными.

1. $$AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$ $$BC = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-3 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$$ $$CD = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (-3 - (-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$ $$DA = \sqrt{(-3 - (-3))^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$$
2. Стороны AB и CD равны 4, стороны BC и DA равны 2. Проверим, являются ли стороны параллельными и перпендикулярными. Заметим, что все стороны параллельны осям координат. Таким образом, AB || CD и BC || DA. Кроме того, AB перпендикулярна BC, BC перпендикулярна CD, CD перпендикулярна DA, DA перпендикулярна AB.

   Следовательно, четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Ответ: Прямоугольник.

б) A(4; 1), B(3; 5), C(-1; 4), D(0; 0)

Найдем длины сторон и диагоналей, чтобы определить тип четырехугольника.

1. $$AB = \sqrt{(3-4)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$$ $$BC = \sqrt{(-1-3)^2 + (4-5)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$$ $$CD = \sqrt{(0-(-1))^2 + (0-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$$ $$DA = \sqrt{(4-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$$

   Все стороны равны $$\sqrt{17}$$.

2. $$AC = \sqrt{(-1-4)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$$ $$BD = \sqrt{(0-3)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$$

   Диагонали AC и BD равны $$\sqrt{34}$$.

3. Так как все стороны равны и диагонали равны, четырехугольник ABCD является квадратом.

Ответ: Квадрат.