Докажите, что сумма диагоналей четырёхугольника меньше его периметра (рис. 18.36).

Давайте докажем это утверждение. Рассмотрим произвольный четырёхугольник $$ABCD$$. Его периметр равен сумме длин всех его сторон: $$P = AB + BC + CD + DA$$. Диагонали четырёхугольника – это отрезки $$AC$$ и $$BD$$. Чтобы доказать, что сумма диагоналей меньше периметра, рассмотрим следующие неравенства, основанные на неравенстве треугольника: 1. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По неравенству треугольника: $$AB + BC > AC$$. 2. Рассмотрим треугольник $$ADC$$. По неравенству треугольника: $$AD + DC > AC$$. 3. Рассмотрим треугольник $$BAD$$. По неравенству треугольника: $$BA + AD > BD$$. 4. Рассмотрим треугольник $$BCD$$. По неравенству треугольника: $$BC + CD > BD$$. Сложим неравенства 1 и 2: $$AB + BC + AD + DC > AC + AC$$ $$AB + BC + AD + DC > 2AC$$ Сложим неравенства 3 и 4: $$BA + AD + BC + CD > BD + BD$$ $$BA + AD + BC + CD > 2BD$$ Теперь сложим эти два результата: $$2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)$$ Разделим обе части на 2: $$AB + BC + CD + DA > AC + BD$$ Таким образом, $$P > AC + BD$$, что означает, что периметр четырёхугольника больше суммы его диагоналей. **Вывод:** Сумма диагоналей четырёхугольника меньше его периметра.