163. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных: a) $$(\frac{2ab}{a^2-b^2} + \frac{a-b}{2a+2b}) \cdot (\frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a})$$; б) $$\frac{y}{x-y} - \frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2} \cdot (\frac{x}{(x-y)^2} - \frac{y}{x^2-y^2})$$. 164. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения $$(\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3}) : (\frac{3}{n^2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{3})$$ является натуральным числом. 165. Представьте в виде многочлена или рациональной дроби: a) $$(n+\frac{1}{n})^2$$; в) $$(\frac{x}{y}+1)^2 + (\frac{x}{y}-1)^2$$; б) $$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a})^2$$; г) $$(\frac{p}{q} + \frac{q}{p})^2 - (\frac{p}{q} - \frac{q}{p})^2$$. 166. Упростите выражение: a) $$\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$$; б) $$\frac{\frac{2a-b}{b}+1}{\frac{2a+b}{b}-1}$$; в) $$\frac{\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}}$$; г) $$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}}$$.

163.a) $$\begin{aligned} &\left(\frac{2 a b}{a^{2}-b^{2}}+\frac{a-b}{2 a+2 b}\right) \cdot\left(\frac{2 a}{a+b}+\frac{b}{b-a}\right)=\\ &\left(\frac{2 a b}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{2(a+b)}\right) \cdot\left(\frac{2 a}{a+b}-\frac{b}{a-b}\right)=\\ &\frac{4 a b+(a-b)^{2}}{2(a-b)(a+b)} \cdot \frac{2 a(a-b)-b(a+b)}{(a+b)(a-b)}=\\ &\frac{4 a b+a^{2}-2 a b+b^{2}}{2(a-b)(a+b)} \cdot \frac{2 a^{2}-2 a b-a b-b^{2}}{(a+b)(a-b)}=\\ &\frac{a^{2}+2 a b+b^{2}}{2(a-b)(a+b)} \cdot \frac{2 a^{2}-3 a b-b^{2}}{(a+b)(a-b)}=\\ &\frac{(a+b)^{2}}{2(a-b)(a+b)} \cdot \frac{2 a^{2}-3 a b-b^{2}}{(a+b)(a-b)}=\\ &\frac{a+b}{2(a-b)} \cdot \frac{2 a^{2}-3 a b-b^{2}}{(a+b)(a-b)}=\\ &\frac{2 a^{2}-3 a b-b^{2}}{2(a-b)^{2}} \end{aligned}$$ Ответ не зависит от значений входящих в него переменных. 163.б) $$\begin{aligned} &\frac{y}{x-y}-\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdot\left(\frac{x}{(x-y)^{2}}-\frac{y}{x^{2}-y^{2}}\right)=\\ &\frac{y}{x-y}-\frac{x\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}} \cdot\left(\frac{x}{(x-y)^{2}}-\frac{y}{(x-y)(x+y)}\right)=\\ &\frac{y}{x-y}-\frac{x(x-y)(x+y)}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^{2}(x+y)}=\\ &\frac{y}{x-y}-\frac{x(x-y)(x+y)}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{x^{2}+x y-x y+y^{2}}{(x-y)^{2}(x+y)}=\\ &\frac{y}{x-y}-\frac{x(x-y)(x+y)}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{x^{2}+y^{2}}{(x-y)^{2}(x+y)}=\\ &\frac{y}{x-y}-\frac{x}{x-y}=\frac{y-x}{x-y}=\frac{-(x-y)}{x-y}=-1 \end{aligned}$$ Ответ не зависит от значений входящих в него переменных. 164. $$\begin{aligned} &\left(\frac{9}{n^{2}}+\frac{n}{3}\right):\left(\frac{3}{n^{2}}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right)=\\ &\frac{27+n^{3}}{3 n^{2}}: \frac{9-3 n+n^{2}}{3 n^{2}}=\\ &\frac{(3+n)\left(9-3 n+n^{2}\right)}{3 n^{2}} \cdot \frac{3 n^{2}}{9-3 n+n^{2}}=3+n \end{aligned}$$ Так как n - натуральное число, то 3+n тоже натуральное число. 165.a) $$\left(n+\frac{1}{n}\right)^{2}=n^{2}+2 n \cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}=n^{2}+2+\frac{1}{n^{2}}$$ 165.б) $$\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}}-2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}+\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}}{b^{2}}-2+\frac{b^{2}}{a^{2}}$$ 165.в) $$\begin{aligned} &\left(\frac{x}{y}+1\right)^{2}+\left(\frac{x}{y}-1\right)^{2}=\\ &\left(\frac{x^{2}}{y^{2}}+2 \cdot \frac{x}{y}+1\right)+\left(\frac{x^{2}}{y^{2}}-2 \cdot \frac{x}{y}+1\right)=\\ &\frac{x^{2}}{y^{2}}+2 \cdot \frac{x}{y}+1+\frac{x^{2}}{y^{2}}-2 \cdot \frac{x}{y}+1=\\ &\frac{2 x^{2}}{y^{2}}+2 \end{aligned}$$ 165.г) $$\begin{aligned} &\left(\frac{p}{q}+\frac{q}{p}\right)^{2}-\left(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)^{2}=\\ &\left(\frac{p^{2}}{q^{2}}+2 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p}+\frac{q^{2}}{p^{2}}\right)-\left(\frac{p^{2}}{q^{2}}-2 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p}+\frac{q^{2}}{p^{2}}\right)=\\ &\frac{p^{2}}{q^{2}}+2+\frac{q^{2}}{p^{2}}-\frac{p^{2}}{q^{2}}+2-\frac{q^{2}}{p^{2}}=4 \end{aligned}$$ 166.a) $$\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x+1}{x}}=\frac{x-1}{x+1}$$ 166.б) $$\begin{aligned} &\frac{\frac{2 a-b}{b}+1}{\frac{2 a+b}{b}-1}=\\ &\frac{\frac{2 a-b+b}{b}}{\frac{2 a+b-b}{b}}=\frac{\frac{2 a}{b}}{\frac{2 a}{b}}=1 \end{aligned}$$ 166.в) $$\begin{aligned} &\frac{\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}}{\frac{x}{y^{2}}-\frac{y}{x^{2}}}=\\ &\frac{\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2} y^{2}}}{\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2} y^{2}}}=\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{3}-y^{3}} \end{aligned}$$ 166.г) $$\begin{aligned} &\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{\frac{1}{a b}+\frac{1}{b c}+\frac{1}{a c}}=\\ &\frac{\frac{b c+a c+a b}{a b c}}{\frac{c+a+b}{a b c}}=\\ &\frac{b c+a c+a b}{a b c} \cdot \frac{a b c}{c+a+b}=\frac{a b+a c+b c}{a+b+c} \end{aligned}$$