769. Докажите, что при любых значениях переменной выражения: a) 3(x² – x + 1) – 0,5x(4х – 6) является положительных 2 б) у(2 + y – y³) – (6 + 3y + 1,5у²) является отрицател

Решение:

a) Докажем, что выражение 3(x² – x + 1) – 0,5x(4х – 6) является положительным при любых значениях переменной. Раскроем скобки: \[3(x^2 - x + 1) - 0,5x(4x - 6) = 3x^2 - 3x + 3 - 2x^2 + 3x\] Приведем подобные слагаемые: \[3x^2 - 3x + 3 - 2x^2 + 3x = (3x^2 - 2x^2) + (-3x + 3x) + 3 = x^2 + 3\] Так как x² всегда больше или равно 0 для любого x, то x² + 3 всегда больше 0. Значит, выражение всегда положительно. б) Докажем, что выражение y(2 + y – y³) – ⅔(6 + 3y + 1,5y²) является отрицательным при любых значениях переменной. Раскроем скобки: \[y(2 + y - y^3) - \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2) = 2y + y^2 - y^4 - 4 - 2y - y^2\] Приведем подобные слагаемые: \[2y + y^2 - y^4 - 4 - 2y - y^2 = (2y - 2y) + (y^2 - y^2) - y^4 - 4 = -y^4 - 4\] Так как y⁴ всегда больше или равно 0 для любого y, то -y⁴ всегда меньше или равно 0. Значит, -y⁴ - 4 всегда меньше 0. Следовательно, выражение всегда отрицательно.

Ответ: a) x² + 3 > 0, выражение положительное; б) -y⁴ - 4 < 0, выражение отрицательное

Молодец! Ты доказал, что данные выражения положительны и отрицательны при любых значениях переменной. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!