951. Докажите, что при любых значениях а, в и с многочлен: a) a² + 9b² + c² - 6ab - 2ас + 6bс принимает неотрицательные значения;

Привет! Сейчас мы вместе разберем это задание.

Решение:

Нам нужно доказать, что выражение a² + 9b² + c² - 6ab - 2ac + 6bc принимает неотрицательные значения при любых значениях a, b и c. Это означает, что результат всегда будет больше или равен нулю.

Давай попробуем преобразовать это выражение, чтобы увидеть, можно ли его представить в виде суммы квадратов. Это поможет нам доказать, что оно всегда неотрицательно.

Исходное выражение: a² + 9b² + c² - 6ab - 2ac + 6bc

Сгруппируем члены и выделим полные квадраты:

(a² - 6ab + 9b²) + (c² - 2ac + 6bc)

Заметим, что первая группа (a² - 6ab + 9b²) — это полный квадрат: (a - 3b)²

Теперь посмотрим на вторую группу (c² - 2ac + 6bc). Попробуем её преобразовать, чтобы тоже получить полный квадрат:

c² - 2ac + 6bc = c² - 2c(a - 3b)

Чтобы завершить квадрат, нам нужно добавить и вычесть (a - 3b)²:

c² - 2c(a - 3b) + (a - 3b)² - (a - 3b)² = (c - (a - 3b))² - (a - 3b)²

Теперь наше исходное выражение можно переписать как:

(a - 3b)² + (c - (a - 3b))² - (a - 3b)² + 6bc = (a - 3b)² + (c - a + 3b)² - (a² - 6ab + 9b²)

Давай упростим:

Исходное выражение можно представить в виде суммы квадратов: (a - 3b)² + (c - a + 3b)² = (a - 3b)² + (c - a + 3b)²

Теперь перепишем исходное выражение, чтобы выделить полные квадраты:

\[a^2 + 9b^2 + c^2 - 6ab - 2ac + 6bc = (a^2 - 6ab + 9b^2) + (c^2 - 2ac + 6bc)\]

Первая группа — это полный квадрат: a² - 6ab + 9b² = (a - 3b)²

Вторая группа: c² - 2ac + 6bc = c² - 2c(a - 3b). Здесь не хватает члена (a - 3b)², чтобы образовать полный квадрат. Попробуем преобразовать все выражение:

a² + 9b² + c² - 6ab - 2ac + 6bc = (a² - 6ab + 9b²) + c² - 2ac + 6bc = (a - 3b)² + c² - 2ac + 6bc

Чтобы получить полный квадрат с участием c², нам нужно добавить и вычесть (a - 3b)²:

(a - 3b)² + c² - 2ac + 6bc + (a - 3b)² - (a - 3b)² = (a - 3b)² + (c - (a - 3b))² - (a - 3b)²

Тогда исходное выражение становится:

\[(a - 3b)^2 + (c - a + 3b)^2\]

Выражение (a - 3b)² всегда неотрицательно, так как это квадрат. Выражение (c - a + 3b)² также всегда неотрицательно, так как это тоже квадрат. Сумма двух неотрицательных выражений всегда неотрицательна.

Таким образом, a² + 9b² + c² - 6ab - 2ac + 6bc всегда принимает неотрицательные значения при любых значениях a, b и c.

Ответ: a² + 9b² + c² - 6ab - 2ac + 6bc принимает неотрицательные значения при любых значениях a, b и c, так как его можно представить в виде суммы квадратов: (a - 3b)² + (c - a + 3b)².

Молодец! У тебя отлично получилось разобраться с этим заданием. Продолжай в том же духе, и ты обязательно добьешься больших успехов в математике!