Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство: 1) (p − 3)(p + 4) < p(p + 1); 2) (x + 1)² ≥ x(x + 2); 3) (a − 5)(a + 2) > (a + 5)(a − 8); 4) y(y + 8) < (y + 4)²; 5) (2a − 5)² ≤ 6a² − 20a + 25; 6) a² + 4 ≥ 4a.

1) Раскроем скобки:

\( (p-3)(p+4)=p^2+p-12 \), \( p(p+1)=p^2+p \).

Так как \( -12<0 \), то \( p^2+p-12

Ответ: неравенство верно при любом значении \(p\).

2) Перенесём всё в левую часть:

\( (x+1)^2-x(x+2)=x^2+2x+1-x^2-2x=1 \).

Так как \(1>0\), то \( (x+1)^2>x(x+2) \), следовательно, и \( (x+1)^2\ge x(x+2) \).

Ответ: неравенство верно при любом значении \(x\).

3) Раскроем скобки:

\( (a-5)(a+2)=a^2-3a-10 \);

\( (a+5)(a-8)=a^2-3a-40 \).

Так как \( -10>-40 \), то \( a^2-3a-10>a^2-3a-40 \).

Ответ: неравенство верно при любом значении \(a\).

4) Раскроем скобки:

\( (y+4)^2=y^2+8y+16 \), \( y(y+8)=y^2+8y \).

Так как \(0<16\), то \( y^2+8y

Ответ: неравенство верно при любом значении \(y\).

5) Раскроем скобки:

\( (2a-5)^2=4a^2-20a+25 \).

Сравним с правой частью:

\( 6a^2-20a+25-(4a^2-20a+25)=2a^2\ge0 \).

Значит, \( (2a-5)^2\le6a^2-20a+25 \).

Ответ: неравенство верно при любом значении \(a\).

6) Перенесём всё в левую часть и выделим квадрат:

\( a^2+4-4a=a^2-4a+4=(a-2)^2\ge0 \).

Следовательно, \( a^2+4\ge4a \).

Ответ: неравенство верно при любом значении \(a\).