Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство: 1) (a + 3)(a + 1) > a(a + 4); 2) 3(b − 4) + 2b < 5b − 10; 3) (c − 4)(c + 4) > c² − 20; 4) x(x + 6) − x² < 2(3x + 1); 5) (y + 5)(y − 2) ≥ 3y − 10; 6) 8m² − 6m + 1 ≤ (3m − 1)²; 7) a(a − 2) ≥ −1; 8) (b + 7)² > 14b + 40.

Докажем каждое неравенство, приведя его к очевидному утверждению.

1. \((a+3)(a+1)>a(a+4)\).

   \(a^2+4a+3>a^2+4a\), поэтому \(3>0\).

   Ответ: неравенство верно при любом \(a\).

2. \(3(b-4)+2b<5b-10\).

   \(3b-12+2b<5b-10\), то есть \(5b-12<5b-10\).

   После вычитания \(5b\): \(-12<-10\).

   Ответ: неравенство верно при любом \(b\).

3. \((c-4)(c+4)>c^2-20\).

   \(c^2-16>c^2-20\), поэтому \(-16>-20\).

   Ответ: неравенство верно при любом \(c\).

4. \(x(x+6)-x^2<2(3x+1)\).

   \(x^2+6x-x^2<6x+2\), то есть \(6x<6x+2\).

   После вычитания \(6x\): \(0<2\).

   Ответ: неравенство верно при любом \(x\).

5. \((y+5)(y-2)\geq3y-10\).

   \(y^2+3y-10\geq3y-10\), поэтому \(y^2\geq0\).

   Квадрат любого числа неотрицателен.

   Ответ: неравенство верно при любом \(y\).

6. \(8m^2-6m+1\leq(3m-1)^2\).

   \(8m^2-6m+1\leq9m^2-6m+1\).

   После сокращения: \(8m^2\leq9m^2\), или \(0\leq m^2\).

   Ответ: неравенство верно при любом \(m\).

7. \(a(a-2)\geq-1\).

   \(a^2-2a\geq-1\).

   Прибавим 1: \(a^2-2a+1\geq0\), то есть \((a-1)^2\geq0\).

   Квадрат любого числа неотрицателен.

   Ответ: неравенство верно при любом \(a\).

8. \((b+7)^2>14b+40\).

   \(b^2+14b+49>14b+40\).

   После вычитания \(14b+40\): \(b^2+9>0\).

   Так как \(b^2\geq0\), то \(b^2+9>0\).

   Ответ: неравенство верно при любом \(b\).