Докажите, что при любом \(a>1\) является положительным числом выражение: \(\dfrac{a^2+4a+4}{a-3}\cdot\left(\dfrac{1}{a-1}+\dfrac{3}{a-a^2}\right)\).

Сначала определим область допустимых значений: \(a\ne1\), \(a\ne0\), \(a\ne3\). При условии \(a>1\) остаётся ограничение \(a\ne3\).

1. Разложим выражения на множители:

   \(a^2+4a+4=(a+2)^2\),

   \(a-a^2=a(1-a)=-a(a-1)\).

2. Преобразуем сумму в скобках:

   \[\frac{1}{a-1}+\frac{3}{a-a^2}=\frac{1}{a-1}-\frac{3}{a(a-1)}=\frac{a-3}{a(a-1)}.\]

3. Подставим полученное выражение:

   \[\frac{(a+2)^2}{a-3}\cdot\frac{a-3}{a(a-1)}=\frac{(a+2)^2}{a(a-1)}.\]

4. При \(a>1\) имеем \((a+2)^2>0\), \(a>0\) и \(a-1>0\). Следовательно, числитель и знаменатель дроби положительны, поэтому

   \[\frac{(a+2)^2}{a(a-1)}>0.\]

Ответ: выражение положительно при \(a>1\), \(a\ne3\). При \(a=3\) исходное выражение не определено.