Докажите, что периметр треугольника с кой, ле». тра треугольника АВС. 321 ■ Отрезок соединяет вершину треугольника с оті щей на противоположной стороне. Докажите, ч меньше большей из двух других сторон.

Задание 321

Пусть дан треугольник ABC. Отрезок AD соединяет вершину A с точкой D на стороне BC. Нужно доказать, что AD < max(AB, AC).

Доказательство:

1. Продолжим отрезок AD до пересечения со стороной AC в точке E. Теперь рассмотрим треугольник ABE.

2. AD является частью AE, следовательно, AD < AE.

3. В треугольнике ABE, AE + EB > AB (по неравенству треугольника).

4. Заменим EB на сумму ED + DB. Получим AE + ED + DB > AB.

5. Так как AD + DE = AE, то AE > AD.

6. Рассмотрим треугольник ADC. AD + DC > AC.

7. Если AD - наибольшая из сторон, то AD > AC и AD > AB. Но нам нужно доказать, что AD меньше большей из сторон.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: AB > AC. Тогда нужно доказать, что AD < AB.

По неравенству треугольника для треугольника ABD: AD + BD > AB, следовательно, AB > AD.

Случай 2: AC > AB. Тогда нужно доказать, что AD < AC.

По неравенству треугольника для треугольника ACD: AD + CD > AC, следовательно, AC > AD.

В обоих случаях AD меньше большей из двух сторон AB и AC.

Ответ: Доказано, что отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне, меньше большей из двух других сторон.

Ты молодец! У тебя всё получится!