4. Докажите, что графи а) графику функции у = 3.5x - 2 относительно оси х б) графику функции у = 7x+4 2 относительно оси у. 5. Докажите, что графики функций у = симметричны относительно оси у. 2x+5 2x- 2x-5 и y = 2x +3 6. Найдите области определения функций f(x) = √9- g(x) = -19-х и ф(х) = √x + 9. 7. Известно, что область определения функции у = g(x) промежуток [-6; 15]. Какова область определения функ. ции: a) y = -g (x); б) у = g (-x); С-11. Графики функций y = f (x) | и y = f (|x|) (п. 8Д) B) y = -g (-x)? 1. Графиком функции у = f (x) служит ломаная АВС, где A (-2; 2), B (0; 3), С (2; -2). Постройте график функции y = f (x). 2. Ломаная KLM, где К (-2; 3), L (2; -1), M (5; 2), — гра фик функции у = g(x). Постройте график функции y = g(x). 3. Постройте график функции: a) y = x + 2; 6) y = x²+5; B) y=-2 a) y = x - 2; б) y = -2; 6) x B) y = |x-2|-2 4. Постройте график функции: 5. Сколько корней имеют уравнения: а) 2x-1=0 и 2 х − 1 = 0; б) х² - х = 0 и х² - |x| = 0; в) х²- 5х + 6 = 0 и х²-5 х + 6 = 0; г) √x - 5 = 1 и√x - 5 = 1? 6. Решите уравнение: a) ||x-2|-3| = 1; 6) x²-7 |x| + 12 = 0.

Краткое пояснение

4. Докажите, что графику функции

а) y = 3.5x - 2 относительно оси x

Функция y = f(x) является нечетной, если f(-x) = -f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Проверим, является ли функция нечетной:

f(-x) = 3.5(-x) - 2 = -3.5x - 2

-f(x) = -(3.5x - 2) = -3.5x + 2

Так как f(-x) ≠ -f(x), функция не является нечетной, и ее график не симметричен относительно начала координат.

Функция y = f(x) является четной, если f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси y.

Так как f(-x) ≠ f(x), функция не является четной, и ее график не симметричен относительно оси y.

б) y = \(\frac{7x+4}{2}\) относительно оси y.

Проверим, является ли функция четной:

f(-x) = \(\frac{7(-x)+4}{2} = \frac{-7x+4}{2}\)

Так как f(-x) ≠ f(x), функция не является четной, и ее график не симметричен относительно оси y.

5. Докажите, что графики функций

y = \(\frac{2x+5}{2x-5}\) и y = \(\frac{2x-5}{2x+5}\) симметричны относительно оси y.

Для доказательства симметрии относительно оси y, нужно показать, что если точка (x, y) принадлежит графику одной функции, то точка (-x, y) принадлежит графику другой функции.

Пусть y = \(\frac{2x+5}{2x-5}\). Тогда заменим x на -x: y = \(\frac{2(-x)+5}{2(-x)-5} = \frac{-2x+5}{-2x-5} = \frac{2x-5}{2x+5}\)

Получили вторую функцию. Следовательно, графики симметричны относительно оси y.

6. Найдите области определения функций

f(x) = \(\sqrt{9-x}\)

Область определения: 9 - x ≥ 0, x ≤ 9. Ответ: (-∞; 9].

g(x) = \(-\sqrt{9-x}\)

Область определения: 9 - x ≥ 0, x ≤ 9. Ответ: (-∞; 9].

φ(x) = \(\sqrt{x+9}\)

Область определения: x + 9 ≥ 0, x ≥ -9. Ответ: [-9; +∞).

7. Известно, что область определения функции y = g(x) – промежуток [-6; 15]. Какова область определения функции:

а) y = -g(x): Область определения: [-6; 15].

б) y = g(-x): Область определения: [-15; 6].

в) y = -g(-x): Область определения: [-15; 6].

С-11. Графики функций

1. Графиком функции y = f(x) служит ломаная АВС, где A(-2; 2), B(0; 3), C(2; -2). Постройте график функции y = |f(x)|.

График функции y = |f(x)| получается из графика функции y = f(x) отражением всех точек, у которых y < 0, относительно оси x.

2. Ломаная KLM, где K(-2; 3), L(2; -1), M(5; 2) – график функции y = g(x). Постройте график функции y = g(|x|).

График функции y = g(|x|) получается из графика функции y = g(x) следующим образом: часть графика y = g(x) при x ≥ 0 сохраняется, а часть графика при x < 0 заменяется зеркальным отражением относительно оси y части графика при x ≥ 0.

3. Постройте график функции:

а) y = |x + 2|

Это график модуля с вершиной в точке (-2; 0).

б) y = |x² + 5|

Так как x² + 5 всегда положительно, то y = x² + 5 – это парабола с вершиной в точке (0; 5).

в) y = |\(\frac{4}{x}\) - 2|

Строим график функции \(\frac{4}{x}\) и сдвигаем его вниз на 2 единицы. Затем берем модуль, то есть отражаем часть графика, находящуюся ниже оси x, относительно оси x.

4. Постройте график функции:

а) y = |x - 2|

Это график модуля с вершиной в точке (2; 0).

б) y = \(\frac{4}{|x|}\) - 2

Функция четная, поэтому график симметричен относительно оси y. При x > 0, y = \(\frac{4}{x}\) - 2, а при x < 0 график является зеркальным отражением этой части относительно оси y.

в) y = ||x - 2| - 2|

Сначала строим график y = |x - 2|, затем сдвигаем его вниз на 2 единицы, и затем берем модуль, то есть отражаем часть графика, находящуюся ниже оси x, относительно оси x.

5. Сколько корней имеют уравнения:

а) 2x - 1 = 0 и 2|x| - 1 = 0

2x - 1 = 0 → x = 0.5

2|x| - 1 = 0 → |x| = 0.5 → x = 0.5 и x = -0.5

Уравнение имеет 3 корня.

б) x² - x = 0 и x² - |x| = 0

x² - x = 0 → x(x - 1) = 0 → x = 0 и x = 1

x² - |x| = 0 → |x|(|x| - 1) = 0 → |x| = 0 и |x| = 1 → x = 0, x = 1, x = -1

Уравнение имеет 5 корней.

в) x² - 5x + 6 = 0 и x² - 5|x| + 6 = 0

x² - 5x + 6 = 0 → (x - 2)(x - 3) = 0 → x = 2 и x = 3

x² - 5|x| + 6 = 0 → |x|² - 5|x| + 6 = 0 → (|x| - 2)(|x| - 3) = 0 → |x| = 2 и |x| = 3 → x = 2, x = -2, x = 3, x = -3

Уравнение имеет 6 корней.

г) \(\sqrt{x}\) - 5 = 1 и \(\sqrt{|x|}\) - 5 = 1?

\(\sqrt{x}\) - 5 = 1 → \(\sqrt{x}\) = 6 → x = 36

\(\sqrt{|x|}\) - 5 = 1 → \(\sqrt{|x|}\) = 6 → |x| = 36 → x = 36 и x = -36

Уравнение имеет 3 корня.

6. Решите уравнение:

а) ||x - 2| - 3| = 1

|x - 2| - 3 = 1 или |x - 2| - 3 = -1

|x - 2| = 4 или |x - 2| = 2

x - 2 = 4, x - 2 = -4, x - 2 = 2, x - 2 = -2

x = 6, x = -2, x = 4, x = 0

б) x² - 7|x| + 12 = 0

|x|² - 7|x| + 12 = 0

(|x| - 3)(|x| - 4) = 0

|x| = 3 или |x| = 4

x = 3, x = -3, x = 4, x = -4

Ответ:

Проверка за 10 секунд: Убедись, что каждый шаг решения логически обоснован и полученные ответы соответствуют исходным условиям. Проверь все арифметические вычисления.

Доп. профит: