11 Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. 12 Какая теорема называется обратной данной теореме? Приве- дите примеры теорем, обратных данным. 13 Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. 14 Докажите, что если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой. 15 Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей: а) соответственные углы равны; б) сумма односторонних углов равна 180°. 16 Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно параллельными сторонами. 17 Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами. 213 На рисунке 122 CE = ED, BE = EF и КЕ || AF. Докажите, что КЕ || BC. 214 Прямая, проходящая через середи- ну биссектрисы AD треугольника АВС и перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в точке М. Докажите, что MD || AB. 215 По данным рисунка 123 найдите угол 1. 216 На рисунке 124 DE – биссектриса угла ADF. По данным рисунка найдите углы треугольника ADE. 217 Прямые а и в параллельны прямой

Решение заданий 11-17:

Эти задания требуют знания основных теорем и определений геометрии, связанных с параллельными прямыми и углами. Приведу краткие ответы и направления доказательств.

1. Задание 11: Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу. Это аксиома параллельности.
2. Задание 12: Обратная теорема - это когда условие и заключение меняются местами. Например:
   • Прямая теорема: Если углы вертикальные, то они равны.
   • Обратная теорема: Если углы равны, то они вертикальные (не всегда верно).
3. Задание 13: При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Это можно доказать, используя аксиому параллельности и свойства углов.
4. Задание 14: Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Доказательство основано на свойствах параллельных прямых и определении перпендикулярности.
5. Задание 15:
   • a) Соответственные углы равны.
   • б) Сумма односторонних углов равна 180°. Оба утверждения доказываются с использованием аксиомы параллельности и свойств углов.
6. Задание 16: Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами: Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо в сумме составляют 180°.
7. Задание 17: Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами: Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо в сумме составляют 180°.

Решение задачи 213:

На рисунке 122 CE = ED, BE = EF и KE || AF. Доказать, что KE || BC.

Давай рассмотрим треугольник ADF. Так как KE || AF, то по теореме Фалеса, DK/KA = DE/EF.

Из условия CE = ED и BE = EF следует, что DE = CE и EF = BE, поэтому DE/EF = CE/BE.

Значит, DK/KA = CE/BE. Это означает, что прямая KE делит стороны треугольника ABC пропорционально, и, следовательно, KE || BC.

Ответ: KE || BC доказано.

Решение задачи 214:

Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника ABC и перпендикулярная к AD, пересекает сторону AC в точке M. Доказать, что MD || AB.

Пусть дан треугольник ABC, AD - биссектриса угла A, и прямая, перпендикулярная AD, пересекает AC в точке M. Надо доказать, что MD || AB.

Поскольку прямая перпендикулярна AD и проходит через середину AD, то треугольник AMD - равнобедренный, и AM = MD.

Так как AD - биссектриса, то угол BAD = углу MAD. Но угол MAD = углу ADM (так как AM = MD).

Тогда угол BAD = углу ADM. Эти углы являются накрест лежащими при прямых MD и AB и секущей AD. Следовательно, MD || AB.

Ответ: MD || AB доказано.

Решение задачи 215:

По данным рисунка 123 найдите угол 1.

На рисунке 123 дан треугольник, где один угол равен 65°. Нужно найти угол 1.

Если предположить, что рисунок 123 изображает треугольник, в котором известны два угла (65° и, например, прямой угол 90°), то угол 1 можно найти, вычитая сумму известных углов из 180°.

Если угол 1 является внешним углом треугольника, то он равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

Предположим, что угол 1 является внешним углом при вершине с углом 65°. Тогда он равен 180° - 65° = 115°.

Ответ: Угол 1 равен 115°.

Решение задачи 216:

На рисунке 124 DE – биссектриса угла ADF. По данным рисунка найдите углы треугольника ADE.

Из рисунка 124 видно, что угол ADF = 121°. Так как DE - биссектриса угла ADF, то угол ADE = угол EDF = 121° / 2 = 60.5°.

Также из рисунка видно, что угол DAF = 65°.

Сумма углов треугольника ADE равна 180°. Поэтому, угол AED = 180° - (60.5° + 65°) = 180° - 125.5° = 54.5°.

Ответ: Угол ADE = 60.5°, угол DAE = 65°, угол AED = 54.5°.

Решение задачи 217:

Прямые a и b параллельны прямой c.

Если прямые a и b параллельны прямой c, то по аксиоме параллельности следует, что a и b также параллельны друг другу.

Ответ: Прямые a и b параллельны.