337 Докажите, что если две хорды АВ и АС окружности равны, то ни одна из них не является диаметром этой окружности.

Доказательство: Предположим, что хорда AB является диаметром окружности. Тогда центр окружности лежит на отрезке AB. Так как AB и AC равны по условию, то AC также является диаметром. Но два диаметра окружности могут совпадать только в том случае, если они лежат на одной прямой, проходящей через центр окружности. Таким образом, точки A, B и C должны лежать на одной прямой, и A должен быть между B и C. Однако, это означает, что AB + AC = BC. Но AB = AC, следовательно, BC = 2AB. Но по условию AB и AC - хорды, а BC - тоже хорда. Предположим, что AB - диаметр. Тогда угол, опирающийся на диаметр, равен 90 градусам. Но поскольку AB = AC, треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании должны быть равны. Это противоречие. Значит, ни AB, ни AC не могут быть диаметрами. Другое доказательство: Предположим, что AB - диаметр. Тогда центр O окружности лежит на AB. Поскольку AB = AC, треугольник ABC - равнобедренный с основанием BC. Следовательно, углы \(\angle ABC\) и \(\angle ACB\) равны. Так как AB - диаметр, угол \(\angle ACB\), опирающийся на диаметр, является прямым углом, т.е. \(\angle ACB = 90^{\circ}\). Следовательно, \(\angle ABC = 90^{\circ}\) также. Но в треугольнике не может быть двух прямых углов, что противоречит условию. Таким образом, наше предположение, что AB является диаметром, неверно. Следовательно, ни AB, ни AC не являются диаметрами данной окружности. Что и требовалось доказать.