95. Докажите, что дробь $$\frac{3762}{10^{3}-1}$$ сократима.

Для того, чтобы доказать, что дробь сократима, нужно показать, что и числитель, и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1.

Преобразуем знаменатель:

$$10^3 - 1 = 1000 - 1 = 999$$

Теперь у нас дробь $$\frac{3762}{999}$$.

Найдем разложение числителя и знаменателя на простые множители:

$$3762 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 19$$

$$999 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 37$$

Как видно, и числитель, и знаменатель делятся на $$3 \cdot 3 = 9$$, значит, дробь сократима на 9.

$$\frac{3762}{999} = \frac{3762 / 9}{999 / 9} = \frac{418}{111}$$

Ответ: Дробь $$\frac{3762}{10^{3}-1}$$ сократима, так как и числитель, и знаменатель делятся на 9.