Докажите, что \(\dfrac{b-c}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{c-a}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{a-b}{(c-a)(c-b)}=\dfrac{2}{a-b}+\dfrac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}\).

Пусть \(a\ne b\), \(b\ne c\), \(c\ne a\). Обозначим \(x=a-b\), \(y=b-c\), \(z=c-a\). Тогда \(x+y+z=0\).

С учётом равенств \(a-c=-z\), \(b-a=-x\), \(c-b=-y\) левая часть преобразуется так:

\[\frac{y}{x(-z)}+\frac{z}{y(-x)}+\frac{x}{z(-y)}=-\frac{y^2+z^2+x^2}{xyz}.\]

Так как \(x+y+z=0\), то

\[x^2+y^2+z^2=-2(xy+yz+zx).\]

Следовательно,

\[-\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=\frac{2(xy+yz+zx)}{xyz}=2\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right).\]

Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем:

\[2\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}.\]

Что и требовалось доказать.