951 Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоуголь-ником, и найдите его площадь, если: a) A (-3;-1), В (1; −1), C (1; −3), D(-3; −3); б) A (4; 1), B (3; 5), C (-1; 4), D (0; 0).

а) Чтобы доказать, что ABCD прямоугольник, нужно показать, что его стороны попарно параллельны и смежные стороны перпендикулярны. Сначала вычислим длины сторон:

• AB = $$ \sqrt{(1-(-3))^2 + (-1-(-1))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4 $$
• BC = $$ \sqrt{(1-1)^2 + (-3-(-1))^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2 $$
• CD = $$ \sqrt{(-3-1)^2 + (-3-(-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = 4 $$
• DA = $$ \sqrt{(-3-(-3))^2 + (-1-(-3))^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2 $$

Теперь найдем угловые коэффициенты сторон:

• AB: $$ \frac{-1-(-1)}{1-(-3)} = \frac{0}{4} = 0 $$
• BC: $$ \frac{-3-(-1)}{1-1} = \frac{-2}{0} = \infty $$
• CD: $$ \frac{-3-(-3)}{-3-1} = \frac{0}{-4} = 0 $$
• DA: $$ \frac{-1-(-3)}{-3-(-3)} = \frac{2}{0} = \infty $$

Так как AB || CD и BC || DA, ABCD - параллелограмм.

Теперь проверим перпендикулярность смежных сторон: угловой коэффициент AB равен 0, а угловой коэффициент BC равен бесконечности, следовательно AB перпендикулярна BC.

Значит, ABCD - прямоугольник.

Площадь прямоугольника равна произведению длин смежных сторон:

$$ S = AB \cdot BC = 4 \cdot 2 = 8 $$

б) Чтобы доказать, что ABCD прямоугольник, нужно показать, что его стороны попарно параллельны и смежные стороны перпендикулярны. Сначала вычислим длины сторон:

• AB = $$ \sqrt{(3-4)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17} $$
• BC = $$ \sqrt{(-1-3)^2 + (4-5)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17} $$
• CD = $$ \sqrt{(0-(-1))^2 + (0-4)^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17} $$
• DA = $$ \sqrt{(4-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17} $$

Теперь найдем угловые коэффициенты сторон:

• AB: $$ \frac{5-1}{3-4} = \frac{4}{-1} = -4 $$
• BC: $$ \frac{4-5}{-1-3} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} $$
• CD: $$ \frac{0-4}{0-(-1)} = \frac{-4}{1} = -4 $$
• DA: $$ \frac{1-0}{4-0} = \frac{1}{4} $$

Так как AB || CD и BC || DA, ABCD - параллелограмм.

Теперь проверим перпендикулярность смежных сторон: умножим угловые коэффициенты смежных сторон: -4 * 1/4 = -1. Значит, смежные стороны перпендикулярны.

Следовательно, ABCD - квадрат.

Площадь квадрата равна квадрату длины стороны:

$$ S = (\sqrt{17})^2 = 17 $$

Ответ: а) ABCD - прямоугольник, S = 8; б) ABCD - квадрат, S = 17.