451. Докажите, что четырёхугольник АBCD с вершинами в точках А (1; −5), B (2; 3), C (-3; 1), D (-4; -7) является параллелограммом.

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если его противоположные стороны попарно параллельны и равны. Это значит, что векторы, соответствующие этим сторонам, должны быть равны.

Проверим равенство векторов $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$.

Вектор $$\overrightarrow{AB}$$ имеет координаты (2 - 1; 3 - (-5)) = (1; 8).

Вектор $$\overrightarrow{DC}$$ имеет координаты (-3 - (-4); 1 - (-7)) = (1; 8).

Так как координаты векторов $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$ равны, то эти векторы равны и параллельны.

Проверим равенство векторов $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$.

Вектор $$\overrightarrow{AD}$$ имеет координаты (-4 - 1; -7 - (-5)) = (-5; -2).

Вектор $$\overrightarrow{BC}$$ имеет координаты (-3 - 2; 1 - 3) = (-5; -2).

Так как координаты векторов $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ равны, то эти векторы равны и параллельны.

Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника ABCD попарно параллельны и равны, следовательно, ABCD - параллелограмм.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, что и требовалось доказать.