568 Докажите, что четырёхугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника; б) равнобедренной трапеции.

а) Докажем, что если вершинами четырехугольника являются середины сторон прямоугольника, то этот четырехугольник – ромб.

Пусть дан прямоугольник ABCD. E, F, G, H — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. EF, FG, GH, HE — средние линии треугольников ABC, BCD, CDA, DAB соответственно. В прямоугольнике диагонали равны, то есть AC = BD. Средние линии, параллельные диагоналям, также равны: EF = HG = 1/2 BD и FG = HE = 1/2 AC. Следовательно, EF = HG = FG = HE. Значит, EFGH — ромб.

      A----------H----------D
      |          |          |
      |          |          |
      E          |          G
      |          |          |
      |          |          |
      B----------F----------C

б) Докажем, что если вершинами четырехугольника являются середины сторон равнобедренной трапеции, то этот четырехугольник – ромб.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC — основания, AB = CD. E, F, G, H — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. EF, FG, GH, HE — средние линии треугольников ABC, BCD, CDA, DAB соответственно. В равнобедренной трапеции диагонали равны, то есть AC = BD. Средние линии, параллельные диагоналям, также равны: EF = HG = 1/2 BD и FG = HE = 1/2 AC. Следовательно, EF = HG = FG = HE. Значит, EFGH — ромб.

      A----------H----------D
      |          |          |
      |          |          |
      E          |          G
      |          |          |
      |          |          |
      B----------F----------C

Ответ: доказано