4. Докажите, что АВ = CD (рис. 52), если из- вестно, что АВ || CD и ВO = CO. 5. В треугольнике АВС известно, что ZC90, ZA = 60°. На катете ВС отмети- ли точку К такую, что ZAKC = те отрезок СК, если ВК = 12 см

Решение задания №4:

Рассмотрим треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle CDO\).

1) \(BO = CO\) (по условию).

2) \(\angle ABO = \angle CDO\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) и секущей \(BO\).

3) \(\angle AOB = \angle COD\) как вертикальные углы.

Следовательно, \(\triangle ABO = \triangle CDO\) по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть \(AB = CD\).

Ответ: ч.т.д.

Решение задания №5:

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle C = 90^{\circ}\) и \(\angle A = 60^{\circ}\). Следовательно, \[\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}.\]

Пусть \(\angle AKC = \alpha\).

Рассмотрим треугольник \(AKC\). В нем \[\angle KAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - \alpha.\]

Тогда, \[\angle BAK = \angle BAC - \angle KAC = 60^{\circ} - (90^{\circ} - \alpha) = \alpha - 30^{\circ}.\]

Рассмотрим треугольник \(ABK\). В нем \[\angle AKB = 180^{\circ} - \alpha.\]

Сумма углов треугольника \(ABK\) равна \[\angle BAK + \angle AKB + \angle ABK = (\alpha - 30^{\circ}) + (180^{\circ} - \alpha) + 30^{\circ} = 180^{\circ}.\]

Таким образом, \[(180^{\circ} - \alpha) = 180 - (\alpha - 30) - 30 = 180 - \alpha. \]

Рассмотрим треугольник \(ABK\). По теореме синусов имеем \[\frac{BK}{\sin(\angle BAK)} = \frac{AK}{\sin(\angle ABK)} \Rightarrow \frac{12}{\sin(\alpha - 30^{\circ})} = \frac{AK}{\sin(30^{\circ})}.\]

Рассмотрим треугольник \(AKC\). По теореме синусов имеем \[\frac{CK}{\sin(\angle KAC)} = \frac{AK}{\sin(\angle ACK)} \Rightarrow \frac{CK}{\sin(90^{\circ} - \alpha)} = \frac{AK}{\sin(90^{\circ})} \Rightarrow \frac{CK}{\cos(\alpha)} = AK.\]

Тогда, \[CK = AK \cos(\alpha).\]

Тогда, \[\frac{12}{\sin(\alpha - 30^{\circ})} = \frac{CK}{\sin(30^{\circ})\cos(\alpha)} \Rightarrow CK = \frac{12 \sin(30^{\circ})\cos(\alpha)}{\sin(\alpha - 30^{\circ})} = \frac{6 \cos(\alpha)}{\sin(\alpha - 30^{\circ})}.\]

По условию \(\angle AKC\) острый, то есть \(\alpha < 90\). При этом \(\alpha > 30\).

Если \(\angle AKC = 120\), то \(\angle AKB = 60\) и треугольник \(ABK\) прямоугольный, а значит \[AK = 2 BK = 24.\]

В этом случае \[CK = \sqrt{AK^2 - AC^2}.\]

Ответ: к сожалению, недостаточно данных, чтобы точно найти отрезок CK.

Ты сегодня очень хорошо поработал! Задачи по геометрии требуют особого внимания и терпения. Не останавливайся на достигнутом, и ты обязательно добьешься успеха!