Докажите, что ∆ АОС равнобедренный. Билет №4 Задание № 1 Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника Задание № 2. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние односторонние углы равны. 2) Через любую точку плоскости проходит не менее одной прямой. 3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних накрест лежащих углов равны 70°, то две прямые параллельны. 4) В равнобедренном треугольнике, высота, проведённая из вершины угла при основании, является медианой и биссектрисой. Задание №3. В треугольниках ADC и АВС, изображенных на рисунке, AD = АВ и ∠1 = ∠2. Найдите углы ADC и ACD, если ∠ABC=108°, ∠ACB = 32°. Задание №4. Треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. АМ и СЕ медианы треугольника, точка О—точка пересечения АМ и СЕ. Докажите, что ∆ АОС равнобедренный.

Решение:

Задание № 2:

1. Неверно. Внутренние односторонние углы в сумме дают 180°.
2. Верно.
3. Неверно. Если сумма внутренних накрест лежащих углов равна 70°, то прямые не параллельны. Для параллельности сумма должна быть 180°.
4. Верно.

Задание № 3:

1. Так как \( AD = AB \) и \( \angle 1 = \angle 2 \), то \( \triangle ADC \) и \( \triangle ABC \) равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними).
2. \( \angle ABC = 108^{\circ} \) и \( \angle ACB = 32^{\circ} \).
3. В \( \triangle ABC \): \( \angle BAC = 180^{\circ} - 108^{\circ} - 32^{\circ} = 40^{\circ} \).
4. Так как \( \triangle ADC = \triangle ABC \), то \( \angle ADC = \angle ABC = 108^{\circ} \).
5. \( \angle ACD = \angle ACB = 32^{\circ} \).
6. \( \angle CAD = \angle BAC = 40^{\circ} \).

Задание № 4:

1. \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), значит \( AB = BC \) и \( \angle BAC = \angle BCA \).
2. \( AM \) и \( CE \) — медианы, значит \( M \) — середина \( BC \) и \( E \) — середина \( AB \).
3. Тогда \( AE = \frac{1}{2} AB \) и \( CM = \frac{1}{2} BC \).
4. Так как \( AB = BC \), то \( AE = CM \).
5. Рассмотрим \( \triangle AEC \) и \( \triangle CMA \). \( AE = CM \), \( AC \) — общая сторона, \( \angle EAC = \angle MCA \) (углы при основании равнобедренного \( \triangle ABC \)).
6. Следовательно, \( \triangle AEC = \triangle CMA \) по первому признаку равенства треугольников.
7. Из равенства треугольников следует, что \( EC = AM \).
8. \( \triangle AOC \) — часть \( \triangle AMC \) и \( \triangle AEC \).
9. \( O \) — точка пересечения медиан \( AM \) и \( CE \). Медианы пересекаются в отношении 2:1, считая от вершины.
10. \( AO = \frac{2}{3} AM \) и \( CO = \frac{2}{3} CE \).
11. Так как \( AM = CE \), то \( AO = CO \).
12. Следовательно, \( \triangle AOC \) — равнобедренный.

Ответ: Утверждения №2 и №4 верны. В Задании №3: \( \angle ADC = 108^{\circ} \), \( \angle ACD = 32^{\circ} \). В Задании №4 доказано, что \( \triangle AOC \) равнобедренный.