Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если А(12; 2), В(16; 8), C(10; 12) и D(6; 6). (Доказательство выполни в тетради и самостоятельно проверь в шагах решения.) Ответ: SABCD = ٱ.

Для решения задачи необходимо доказать, что ABCD - прямоугольник, и найти его площадь.

Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Сначала найдем длины сторон четырехугольника ABCD, используя координаты точек. Длина отрезка между точками (x1, y1) и (x2, y2) вычисляется по формуле: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$.

• Длина стороны AB: $$AB = \sqrt{(16 - 12)^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$$
• Длина стороны BC: $$BC = \sqrt{(10 - 16)^2 + (12 - 8)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$$
• Длина стороны CD: $$CD = \sqrt{(6 - 10)^2 + (6 - 12)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$$
• Длина стороны DA: $$DA = \sqrt{(12 - 6)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$$

Так как все стороны равны, ABCD - ромб.

Теперь проверим, являются ли углы прямыми. Для этого найдем векторы сторон и проверим их перпендикулярность. Векторы:

• $$\vec{AB} = (16 - 12; 8 - 2) = (4; 6)$$
• $$\vec{BC} = (10 - 16; 12 - 8) = (-6; 4)$$

Проверим перпендикулярность векторов AB и BC. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны. Скалярное произведение: $$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (4 \cdot -6) + (6 \cdot 4) = -24 + 24 = 0$$.

Так как векторы AB и BC перпендикулярны, угол ABC - прямой. Следовательно, ABCD - прямоугольник.

Площадь прямоугольника можно найти, умножив длины смежных сторон, которые не равны.

• Длина стороны AC: $$AC = \sqrt{(10 - 12)^2 + (12 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (10)^2} = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104}$$

Так как $$AB = BC = CD = DA = \sqrt{52}$$ и все стороны равны, то это квадрат.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: $$S = AB^2 = (\sqrt{52})^2 = 52$$

Ответ: 52