Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если А(12; 2), B(18; 11), C(12; 15) и D(6; 6). (Доказательство выполни в тетради и самостоятельно проверь в шагах решения.) Ответ: SABCD =

Решение:

Для начала найдем длины сторон четырехугольника ABCD:

• AB = √((18-12)² + (11-2)²) = √(36 + 81) = √117 = 3√13
• BC = √((12-18)² + (15-11)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13
• CD = √((6-12)² + (6-15)²) = √(36 + 81) = √117 = 3√13
• DA = √((12-6)² + (2-6)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13

Видим, что AB = CD и BC = DA, то есть противоположные стороны равны. Теперь проверим, являются ли углы прямыми. Найдем векторы сторон:

• AB = (18-12; 11-2) = (6; 9)
• BC = (12-18; 15-11) = (-6; 4)

Проверим, перпендикулярны ли эти векторы, вычислив их скалярное произведение:

AB · BC = (6 * -6) + (9 * 4) = -36 + 36 = 0

Так как скалярное произведение равно 0, то векторы перпендикулярны, а значит, угол ABC - прямой. Поскольку противоположные стороны четырехугольника попарно равны и один угол прямой, то это прямоугольник.

Теперь найдем площадь прямоугольника ABCD:

SABCD = AB * BC = (3√13) * (2√13) = 6 * 13 = 78

Ответ: 78

Молодец! Ты отлично справился с задачей. Продолжай в том же духе!