492. Доказать тождество: 1) sin(a + b) tg a + tg β sin(a -β)tga - tg β' = Преобразуем левую часть равенства: sin(a + β) sin a cos β + cos a = sin(a - β) sin a cos βcos a sin a sin ẞ + cos a = sinẞtga + tg β cos a cos ẞ sinẞtga-tg β' Тождество доказано. cos(aẞ) ctg a ctg ẞ + 1 2) cos(a + b) ctg a- ctg ẞ-1' = Преобразуем левую часть равенства: cos a cosẞ sin a sinẞ + cos(a) cos a cos ẞ + sin a sinẞ sin a sinẞ = cos(a + β) cos a cos ẞ sin a sin ẞ sin a sin ẞ cos a cosẞ sina sin β sin a sin ẞ ctg a tg ẞ+1 ctg a tg ẞ-1' Тождество доказано. √2 3)cos(+a)= 2 + a)=(cosa - sin a); Преобразуем левую часть равенства: π π √2 2 √2 2 COS cos(a) = cos cosa - sin sina = cosa - sina = cosasin 4 =(cosa - sina); 2 Тождество доказано.

1)

Докажем тождество: \[\frac{sin(a + β)}{sin(a - β)} = \frac{tg a + tg β}{tg a - tg β}\]

Преобразуем левую часть равенства:

\[\frac{sin(a + β)}{sin(a - β)} = \frac{sin a \cdot cos β + cos a \cdot sin β}{sin a \cdot cos β - cos a \cdot sin β} = \frac{\frac{sin a \cdot cos β}{cos a \cdot cos β} + \frac{cos a \cdot sin β}{cos a \cdot cos β}}{\frac{sin a \cdot cos β}{cos a \cdot cos β} - \frac{cos a \cdot sin β}{cos a \cdot cos β}} = \frac{\frac{sin a}{cos a} + \frac{sin β}{cos β}}{\frac{sin a}{cos a} - \frac{sin β}{cos β}} = \frac{tg a + tg β}{tg a - tg β}\]

Тождество доказано.

2)

Докажем тождество: \[\frac{cos(a-β)}{cos(a + β)} = \frac{ctg a \cdot ctg β + 1}{ctg a \cdot ctg β - 1}\]

Преобразуем левую часть равенства:

\[\frac{cos(a - β)}{cos(a + β)} = \frac{cos a \cdot cos β + sin a \cdot sin β}{cos a \cdot cos β - sin a \cdot sin β} = \frac{\frac{cos a \cdot cos β}{sin a \cdot sin β} + \frac{sin a \cdot sin β}{sin a \cdot sin β}}{\frac{cos a \cdot cos β}{sin a \cdot sin β} - \frac{sin a \cdot sin β}{sin a \cdot sin β}} = \frac{\frac{cos a}{sin a} \cdot \frac{cos β}{sin β} + 1}{\frac{cos a}{sin a} \cdot \frac{cos β}{sin β} - 1} = \frac{ctg a \cdot ctg β + 1}{ctg a \cdot ctg β - 1}\]

Тождество доказано.

3)

Докажем тождество: \[cos(\frac{π}{4} + a) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos a - sin a)\]

Преобразуем левую часть равенства:

\[cos(\frac{π}{4} + a) = cos \frac{π}{4} \cdot cos a - sin \frac{π}{4} \cdot sin a = \frac{\sqrt{2}}{2} cos a - \frac{\sqrt{2}}{2} sin a = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos a - sin a)\]

Тождество доказано.