Доказать тождества: sin⁴ α + cos⁴ α - 1 2 4.186 = sin⁶ α + cos⁶ α - 1 3 π π 4.187 4 cos ( - α ) · sin ( - α ) = sin 3α / sin α 6 3 4.188 1 / sin 2α · sin (60° - 2α) · sin (60° + 2α) = 4 / sin 6α cos 6α - cos 7α - cos 8α + cos 9α 15α 4.189 = sin 6α - sin 7α - sin 8α + sin 9α 2 * ctg sin ² (3π - 4α) + 4 cos ² (3π / 2 - 2α) - 4 4.190 = ctg⁴ 2α / (cos ² (π / 2 - 4α) - 4 cos ² (2α - 5π / 2)) sin (5π / 2 + α / 2) · (1 + tg ² (3α / 4 - π / 2)) · cos ² α / 4 = 1 / 8 4.191 * lg ² (3π / 2 - α / 4) - lg ² (3α / 4 - 7π / 2) lg (π / 4 - α / 2) · (1 - cos (3π / 2 - α)) · cos⁻¹ α - 2 cos 2α = lg (π / 6 + α) · lg (α - π / 6) 4.192 * lg (π / 4 - α / 2) · (1 + sin (4π + α)) · cos⁻¹ α + 2 cos 2α 2 cos (π / 6 - 2α) - √3 sin (5π / 2 - 2α) 4.193 = lg 2α / √3 cos (9π / 2 - 2α) + 2 cos (π / 6 + 2α) 4.194 * lg α + cos⁻¹ α - 1 = √2 sin (α / 2) / sin (π / 4 - α / 2)

4.186

Смотри, тут всё просто: нужно упростить выражение, используя тригонометрические тождества.

sin⁴ α + cos⁴ α - 1 2 / sina + cos a-1 3

Решение:

sin⁴ α + cos⁴ α - 1 = (sin² α + cos² α)² - 2sin² αcos² α - 1 = 1 - 2sin² αcos² α - 1 = -2sin² αcos² α

sin⁶ α + cos⁶ α - 1 = (sin² α + cos² α)³ - 3sin² αcos² α(sin² α + cos² α) - 1 = 1 - 3sin² αcos² α - 1 = -3sin² αcos² α

(-2sin² αcos² α) / (-3sin² αcos² α) = 2 / 3

Что и требовалось доказать.

4.187

Смотри, тут нужно преобразовать левую часть уравнения, чтобы она стала равна правой.

4 cos (π / 6 - α) · sin (π / 3 - α) = sin 3α / sin α

Решение:

Используем формулы приведения:

cos (π / 6 - α) = cos (π / 6) cos α + sin (π / 6) sin α = (√3 / 2) cos α + (1 / 2) sin α

sin (π / 3 - α) = sin (π / 3) cos α - cos (π / 3) sin α = (√3 / 2) cos α - (1 / 2) sin α

4 [(√3 / 2) cos α + (1 / 2) sin α] [(√3 / 2) cos α - (1 / 2) sin α] = 4 [3 / 4 cos² α - 1 / 4 sin² α] = 3 cos² α - sin² α

Используем формулу:

sin 3α = 3 sin α - 4 sin³ α

Разделим обе части на sin α:

sin 3α / sin α = (3 sin α - 4 sin³ α) / sin α = 3 - 4 sin² α

Теперь нам нужно показать, что:

3 cos² α - sin² α = 3 - 4 sin² α

3 cos² α - sin² α = 3 (1 - sin² α) - sin² α = 3 - 3 sin² α - sin² α = 3 - 4 sin² α

Что и требовалось доказать.

4.188

Тут нужно упростить выражение, используя тригонометрические тождества.

1 / sin 2α · sin (60° - 2α) · sin (60° + 2α) = 4 / sin 6α

Решение:

Используем формулу произведения синусов:

sin (60° - 2α) · sin (60° + 2α) = sin² 60° - sin² 2α = (3 / 4) - sin² 2α

sin 2α · [(3 / 4) - sin² 2α] = (3 / 4) sin 2α - sin³ 2α

Используем формулу тройного угла:

sin 6α = 3 sin 2α - 4 sin³ 2α = 4 [(3 / 4) sin 2α - sin³ 2α] = 4 [sin 2α · ((3 / 4) - sin² 2α)]

Таким образом:

1 / [sin 2α · sin (60° - 2α) · sin (60° + 2α)] = 4 / sin 6α

Что и требовалось доказать.

4.189

Нужно упростить выражение, используя тригонометрические тождества и преобразования.

(cos 6α - cos 7α - cos 8α + cos 9α) / (sin 6α - sin 7α - sin 8α + sin 9α) = ctg (15α / 2)

Решение:

Сгруппируем члены в числителе и знаменателе:

cos 6α - cos 7α - cos 8α + cos 9α = (cos 6α + cos 9α) - (cos 7α + cos 8α)

sin 6α - sin 7α - sin 8α + sin 9α = (sin 6α + sin 9α) - (sin 7α + sin 8α)

Используем формулы суммы косинусов и синусов:

cos 6α + cos 9α = 2 cos ((6α + 9α) / 2) cos ((9α - 6α) / 2) = 2 cos (15α / 2) cos (3α / 2)

cos 7α + cos 8α = 2 cos ((7α + 8α) / 2) cos ((8α - 7α) / 2) = 2 cos (15α / 2) cos (α / 2)

sin 6α + sin 9α = 2 sin ((6α + 9α) / 2) cos ((9α - 6α) / 2) = 2 sin (15α / 2) cos (3α / 2)

sin 7α + sin 8α = 2 sin ((7α + 8α) / 2) cos ((8α - 7α) / 2) = 2 sin (15α / 2) cos (α / 2)

Тогда выражение принимает вид:

(2 cos (15α / 2) cos (3α / 2) - 2 cos (15α / 2) cos (α / 2)) / (2 sin (15α / 2) cos (3α / 2) - 2 sin (15α / 2) cos (α / 2)) =

= (2 cos (15α / 2) (cos (3α / 2) - cos (α / 2))) / (2 sin (15α / 2) (cos (3α / 2) - cos (α / 2))) =

= cos (15α / 2) / sin (15α / 2) = ctg (15α / 2)

Что и требовалось доказать.

4.190

Тут нужно упростить выражение, используя тригонометрические тождества.

(sin² (3π - 4α) + 4 cos² (3π / 2 - 2α) - 4) / (cos² (π / 2 - 4α) - 4 cos² (2α - 5π / 2)) = ctg⁴ 2α

Решение:

Используем формулы приведения:

sin (3π - 4α) = - sin (4α)

cos (3π / 2 - 2α) = - sin (2α)

cos (π / 2 - 4α) = sin (4α)

cos (2α - 5π / 2) = - sin (2α)

Выражение принимает вид:

(sin² (4α) + 4 sin² (2α) - 4) / (sin² (4α) - 4 sin² (2α))

sin² (4α) + 4 sin² (2α) - 4 = (2 sin (2α) cos (2α))² + 4 sin² (2α) - 4 = 4 sin² (2α) cos² (2α) + 4 sin² (2α) - 4 = 4 sin² (2α) (cos² (2α) + 1) - 4

sin² (4α) - 4 sin² (2α) = (2 sin (2α) cos (2α))² - 4 sin² (2α) = 4 sin² (2α) cos² (2α) - 4 sin² (2α) = 4 sin² (2α) (cos² (2α) - 1) = - 4 sin⁴ (2α)

Дальше нужна помощь...

4.191 *

Тут нужно упростить выражение, используя тригонометрические тождества.

4.192 *

Тут нужно упростить выражение, используя тригонометрические тождества.

4.193

Упростить выражение:

(2 cos (π / 6 - 2α) - √3 sin (5π / 2 - 2α)) / (cos (9π / 2 - 2α) + 2 cos (π / 6 + 2α)) = lg 2α / √3

Решение:

Используем формулы приведения:

cos (π / 6 - 2α) = cos (π / 6) cos (2α) + sin (π / 6) sin (2α) = (√3 / 2) cos (2α) + (1 / 2) sin (2α)

sin (5π / 2 - 2α) = cos (2α)

cos (9π / 2 - 2α) = sin (2α)

cos (π / 6 + 2α) = cos (π / 6) cos (2α) - sin (π / 6) sin (2α) = (√3 / 2) cos (2α) - (1 / 2) sin (2α)

2 cos (π / 6 - 2α) - √3 sin (5π / 2 - 2α) = 2 [(√3 / 2) cos (2α) + (1 / 2) sin (2α)] - √3 cos (2α) = √3 cos (2α) + sin (2α) - √3 cos (2α) = sin (2α)

cos (9π / 2 - 2α) + 2 cos (π / 6 + 2α) = sin (2α) + 2 [(√3 / 2) cos (2α) - (1 / 2) sin (2α)] = sin (2α) + √3 cos (2α) - sin (2α) = √3 cos (2α)

sin (2α) / (√3 cos (2α)) = (1 / √3) tg (2α)

Что и требовалось доказать.

4.194 *

Тут нужно упростить выражение, используя тригонометрические тождества.