Доказать тождества: 4.186 \(\frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - 1}{\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha - 1} = \frac{2}{3}\)

Разбираемся:

Пошаговое решение:

Для начала упростим числитель:

• \(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - 1 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1 = -2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha\)

Теперь упростим знаменатель:

• \(\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha - 1 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) - 1 = \sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha - 1 = (\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1 = -3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha\)

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

• \(\frac{-2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{-3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \frac{2}{3}\)

Сократим дробь:

• \(\frac{2}{3} = \frac{2}{3}\)

Ответ: Тождество доказано.