Доказать перпендикулярность плоскостей AMC и DMB.

Для доказательства перпендикулярности плоскостей AMC и DMB, достаточно показать, что одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости.

1. Пусть O – точка пересечения AC и BD. Тогда AO = OC и BO = OD, так как диагонали прямоугольника ABCD делятся точкой пересечения пополам.

2. Треугольники AOD и BOC равны (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, AD = BC.

3. Треугольники AMD и BMC равны (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, AM = MC.

4. MO - медиана в равнобедренном треугольнике AMC, значит MO - высота, следовательно MO перпендикулярно AC.

5. Аналогично доказывается, что DO = OB, треугольники ADM и BCM равны, DM = MB, следовательно, медиана BO треугольника DMB является высотой, значит BO перпендикулярно DM.

6. BO и MO лежат в плоскости DMB. AC перпендикулярно MO и BD. Следовательно, AC перпендикулярна плоскости DMB.

7. AC лежит в плоскости AMC. Таким образом, плоскость AMC содержит прямую (AC), перпендикулярную плоскости DMB. Следовательно, плоскости AMC и DMB перпендикулярны.

Доказано, что плоскости AMC и DMB перпендикулярны.