Доказать: ОА — биссектриса ∠BOC.

Доказательство:

Дано: \( AB \) и \( AC \) — касательные к окружности с центром \( O \).

Доказать: \( OA \) — биссектриса \( \angle BOC \).

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABO \) и \( \triangle ACO \).
2. \( AO \) — общая гипотенуза.
3. \( OB = OC \) (радиусы окружности).
4. \( AB = AC \) (отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны).
5. Следовательно, \( \triangle ABO = \triangle ACO \) по трём сторонам (по третьему признаку равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( \angle BAO = \angle CAO \) и \( \angle ABO = \angle ACO \).
7. Так как \( AB \) и \( AC \) — касательные, то радиусы \( OB \) и \( OC \) перпендикулярны касательным в точках касания. Значит, \( \angle ABO = 90^{\circ} \) и \( \angle ACO = 90^{\circ} \).
8. Рассмотрим \( \triangle BOC \). \( OB = OC \) (радиусы), значит, \( \triangle BOC \) — равнобедренный.
9. \( OA \) проходит через центр \( O \) и точку \( A \) вне окружности. В равнобедренном треугольнике \( BOC \) отрезок \( OA \) является биссектрисой угла \( BOC \), так как он содержит высоту \( OB \) и медиану (поскольку \( AB = AC \)).
10. Более строго: из равенства \( \triangle ABO = \triangle ACO \) следует, что \( \angle BOA = \angle COA \).
11. Эти углы являются углами при вершине \( O \) в равнобедренном треугольнике \( BOC \) (так как \( OB = OC \)).
12. Следовательно, \( OA \) является биссектрисой \( \angle BOC \).

Что и требовалось доказать.