599 Доказать, что sin (arcsin a) = а при −1 ≤ a ≤ 1. Вычислить: 1) sin (arcsin 1/7); 2) sin (arcsin (-1/5)); 3) sin (π + arcsin 3/4); 4) cos (3π/2 − arcsin 1/3); 5) cos (arcsin 4/5); 6) tg (arcsin 1/√10)

Привет! Давай вместе решим это задание. Оно кажется сложным, но с моей помощью ты со всем справишься!

Для начала вспомним, что arcsin(a) - это угол, синус которого равен a. То есть, если arcsin(a) = x, то sin(x) = a. Поэтому, sin(arcsin a) = sin(x) = a. Это справедливо при -1 ≤ a ≤ 1, потому что arcsin определен только на этом интервале.

Теперь давай вычислим значения выражений:

1) \( sin(arcsin \frac{1}{7}) \)

Так как \( sin(arcsin a) = a \), то

\( sin(arcsin \frac{1}{7}) = \frac{1}{7} \)

2) \( sin(arcsin(-\frac{1}{5})) \)

Аналогично,

\( sin(arcsin(-\frac{1}{5})) = -\frac{1}{5} \)

3) \( sin(\pi + arcsin \frac{3}{4}) \)

Вспомним формулу: \( sin(\pi + x) = -sin(x) \). Тогда,

\( sin(\pi + arcsin \frac{3}{4}) = -sin(arcsin \frac{3}{4}) = -\frac{3}{4} \)

4) \( cos(\frac{3\pi}{2} - arcsin \frac{1}{3}) \)

Вспомним формулу приведения: \( cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -sin(x) \). Тогда,

\( cos(\frac{3\pi}{2} - arcsin \frac{1}{3}) = -sin(arcsin \frac{1}{3}) = -\frac{1}{3} \)

5) \( cos(arcsin \frac{4}{5}) \)

Пусть \( arcsin \frac{4}{5} = x \), тогда \( sin(x) = \frac{4}{5} \). Нам нужно найти \( cos(x) \). Вспомним основное тригонометрическое тождество: \( sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \).

\( cos^2(x) = 1 - sin^2(x) = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \)

\( cos(x) = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \) (так как \( arcsin \frac{4}{5} \) находится в первой четверти, косинус положительный)

\( cos(arcsin \frac{4}{5}) = \frac{3}{5} \)

6) \( tg(arcsin \frac{1}{\sqrt{10}}) \)

Пусть \( arcsin \frac{1}{\sqrt{10}} = x \), тогда \( sin(x) = \frac{1}{\sqrt{10}} \). Нам нужно найти \( tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} \).

Сначала найдем \( cos(x) \):

\( cos^2(x) = 1 - sin^2(x) = 1 - (\frac{1}{\sqrt{10}})^2 = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \)

\( cos(x) = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \)

Теперь найдем \( tg(x) \):

\( tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} = \frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}} = \frac{1}{3} \)

\( tg(arcsin \frac{1}{\sqrt{10}}) = \frac{1}{3} \)

Ты проделал отличную работу! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!