Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

На рисунке 2 изображена схема передней панели печи с аркой кожуха. Известно, что ширина кожуха составляет 60 см, а высота до верхней точки арки – 40 см. Центр окружности, образующей арку, находится в середине нижней части кожуха. Это означает, что расстояние от нижней точки кожуха до центра окружности равно радиусу R.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом R, половиной ширины кожуха (30 см) и отрезком, равным разности между высотой до верхней точки арки и радиусом (40 - R). Применим теорему Пифагора:

$$ R^2 = 30^2 + (40 - R)^2 $$

Раскроем скобки:

$$ R^2 = 900 + 1600 - 80R + R^2 $$

Упростим уравнение:

$$ 0 = 2500 - 80R $$ $$ 80R = 2500 $$ $$ R = \frac{2500}{80} $$ $$ R = 31.25 $$

Ответ: 31.25 см