Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Катя добавила в него порцию холодной воды с температурой 25 °С. После установления теплового равновесия температура воды в чашке составила 75 °С. Удельные теплоёмкости чая и воды одинаковы и равны c = 4200 Дж/(кг.°С). Потерями теплоты можно пренебречь. 1) Чему равно отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, полученному водой. 2) Найдите отношение массы чая к массе долитой воды. 3) Так как чай всё ещё был слишком горячим, Катя добавила в него ещё одну точно такую же порцию холодной воды. Какой станет температура чая после установления нового теплового равновесия? Напишите полное решение этой задачи. Решение:

Решение:

Обозначим:

• $$m_ч$$ — масса чая
• $$m_в$$ — масса воды
• $$c$$ — удельная теплоемкость чая и воды ($$c = 4200 ext{ Дж/(кг} ext{°C)}$$)
• $$T_{ч1} = 100 ext{ °С}$$ — начальная температура чая
• $$T_{в1} = 25 ext{ °С}$$ — начальная температура воды
• $$T_{равн1} = 75 ext{ °С}$$ — температура равновесия после первого добавления воды
• $$m_{порции}$$ — масса одной порции воды
• $$T_{равн2}$$ — температура равновесия после второго добавления воды

1. Отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, полученному водой.

Количество теплоты, отданное чаем ($$Q_{отд}$$), равно количеству теплоты, полученному водой ($$Q_пол}$$).

Закон сохранения энергии: $$Q_{отд} = Q_{пол}$$

$$Q_{отд} = c imes m_ч imes (T_{ч1} - T_{равн1})$$

$$Q_{пол} = c imes m_в imes (T_{равн1} - T_{в1})$$

Так как $$Q_{отд} = Q_{пол}$$, то:

$$c imes m_ч imes (100 ext{ °С} - 75 ext{ °С}) = c imes m_в imes (75 ext{ °С} - 25 ext{ °С})$$

$$m_ч imes 25 ext{ °С} = m_в imes 50 ext{ °С}$$

Отношение $$Q_{отд} / Q_{пол} = 1$$ (по закону сохранения энергии).

2. Отношение массы чая к массе долитой воды.

Из уравнения $$m_ч imes 25 ext{ °С} = m_в imes 50 ext{ °С}$$ выразим отношение масс:

$$rac{m_ч}{m_в} = rac{50 ext{ °С}}{25 ext{ °С}} = 2$$

Это означает, что масса чая в два раза больше массы долитой воды ($$m_ч = 2 m_в$$).

3. Температура чая после установления нового теплового равновесия.

Катя добавила еще одну порцию холодной воды, такую же, как первая. Значит, масса второй порции воды также равна $$m_порции$$.

Общая масса воды теперь составляет $$m_{общ.в} = m_в + m_{порции}$$.

Из второго пункта мы знаем, что $$m_в = m_{порции}$$. Поэтому $$m_{общ.в} = m_в + m_в = 2m_в$$.

Уравнение теплового баланса для второго случая:

$$Q_{отд.часть2} = Q_{пол.вода1} + Q_{пол.вода2}$$

Теплота, отданная оставшимся чаем (обозначим его массу как $$m_ч$$, хотя после первого добавления вода перемешалась с чаем, и мы будем считать, что чай - это основная жидкость, в которую добавили воду):

$$Q_{отд.часть2} = c imes m_ч imes (T_{равн1} - T_{равн2})$$

Теплота, полученная всей водой:

$$Q_{пол.вода} = c imes m_{общ.в} imes (T_{равн2} - T_{в1})$$

Подставляем значения:

$$c imes m_ч imes (75 ext{ °С} - T_{равн2}) = c imes (2m_в) imes (T_{равн2} - 25 ext{ °С})$$

Мы знаем, что $$m_ч = 2m_в$$. Подставим это:

$$c imes (2m_в) imes (75 ext{ °С} - T_{равн2}) = c imes (2m_в) imes (T_{равн2} - 25 ext{ °С})$$

Можно сократить $$c$$ и $$2m_в$$ с обеих сторон:

$$75 ext{ °С} - T_{равн2} = T_{равн2} - 25 ext{ °С}$$

Теперь решим относительно $$T_{равн2}$$:

$$75 ext{ °С} + 25 ext{ °С} = T_{равн2} + T_{равн2}$$

$$100 ext{ °С} = 2 imes T_{равн2}$$

$$T_{равн2} = rac{100 ext{ °С}}{2} = 50 ext{ °С}$$

Ответ:

• 1. Отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, полученному водой, равно 1.
• 2. Отношение массы чая к массе долитой воды равно 2.
• 3. Температура чая после установления нового теплового равновесия составит 50 °С.