Для системы dx1/dt = x2, dx2/dt = x1 характеристическое уравнение имеет вид

Решение:

Дана система дифференциальных уравнений:

\( \frac{dx_1}{dt} = x_2 \)

\( \frac{dx_2}{dt} = x_1 \)

Характеристическое уравнение для такой системы строится на основе матричного представления.

Система в матричной форме:

\( \begin{pmatrix} \frac{dx_1}{dt} \\ \frac{dx_2}{dt} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \)

Матрица системы: \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

Характеристическое уравнение имеет вид \( \det(A - \lambda I) = 0 \), где \( I \) — единичная матрица, а \( \lambda \) — собственные значения.

\( A - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{pmatrix} \)

\( \det(A - \lambda I) = (- \lambda)(- \lambda) - 1 \cdot 1 = \lambda^2 - 1 \)

Таким образом, характеристическое уравнение: \( \lambda^2 - 1 = 0 \).

Если использовать букву \( p \) вместо \( \lambda \), то уравнение будет \( p^2 - 1 = 0 \).

Среди предложенных вариантов:

1. \( (p-1)^2=0 \) → \( p^2 - 2p + 1 = 0 \)
2. \( p-1=0 \) → \( p=1 \) (линейное уравнение)
3. \( p^2+1=0 \)
4. \( p^2-1=0 \)

Правильный вариант - \( p^2-1=0 \).

Ответ: p²-1=0