Для системы $$\begin{cases} \frac{dx_1}{dt} = x_1 + 3x_2 \\ \frac{dx_2}{dt} = x_1 - 3x_2 \end{cases}$$ характеристическое уравнение имеет вид

Решение:

Для системы дифференциальных уравнений вида

$$ \begin{cases} \frac{dx_1}{dt} = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \\ \frac{dx_2}{dt} = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 \end{cases} $$

характеристическое уравнение имеет вид:

$$ \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda \end{vmatrix} = 0 $$

В данной системе:

• \( a_{11} = 1 \)
• \( a_{12} = 3 \)
• \( a_{21} = 1 \)
• \( a_{22} = -3 \)

Подставляем значения в определитель:

$$ \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 3 \\ 1 & -3 - \lambda \end{vmatrix} = 0 $$

Вычисляем определитель:

$$ (1 - \lambda)(-3 - \lambda) - (3)(1) = 0 $$

Раскрываем скобки:

$$ -3 - \lambda + 3\lambda + \lambda^2 - 3 = 0 $$

Приводим подобные члены:

$$ \lambda^2 + 2\lambda - 6 = 0 $$