9. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени ра- боты: Т(t) = To + bt + at², где t время в минутах, То = 1320 Κ, а = -10 К/мин², 6 = 80 К/мин. Известно, что при температуре нагре- вательного элемента свыше 1440 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после на- чала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Ответ: 4 минуты

Пошаговое решение:

• Составим уравнение, приравняв температуру T(t) к 1440 K: \[1440 = T_0 + bt + at^2\] Подставим известные значения T₀ = 1320 K, a = -10 K/мин², b = 80 K/мин: \[1440 = 1320 + 80t - 10t^2\]
• Преобразуем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: \[-10t^2 + 80t + 1320 - 1440 = 0\] \[-10t^2 + 80t - 120 = 0\]
• Разделим обе части уравнения на -10 для упрощения: \[t^2 - 8t + 12 = 0\]
• Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант D: \[D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16\]
• Найдем корни уравнения: \[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{16}}{2} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{16}}{2} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2\] Таким образом, мы получили два значения времени: t₁ = 6 минут и t₂ = 2 минуты.
• Проверим, какое из этих значений соответствует максимальному времени, когда прибор еще не испортится. Для этого рассмотрим производную температуры по времени: \[T'(t) = b + 2at = 80 - 20t\] Приравняем производную к нулю, чтобы найти максимум: \[80 - 20t = 0 \Rightarrow t = 4\] Таким образом, максимальное значение температуры достигается при t = 4 минуты.
• Найдем время, через которое нужно отключить прибор. Так как нам нужно найти наибольшее время, после которого прибор нужно отключить, и при этом температура не должна превышать 1440 K, то выберем наименьшее из найденных значений времени, при котором температура достигает 1440 K. Однако, в данном случае t₁ = 6 минут, а t₂ = 2 минуты, но максимальная температура достигается в t = 4 минуты. Значит, при t = 2 и t = 6 температура равна 1440, но отключать нужно при 4 минутах. Поскольку a < 0, то парабола ветвями вниз. Получается, что при t = 6 температура уменьшается, а нам нужно наибольшее время, значит нам подходит момент времени до вершины параболы. Но есть ещё один момент, при t = 0 температура равна 1320 K, затем она растет до t = 4 минуты, а затем начинает падать. Значит, нам нужно найти такое t, чтобы температура не превышала 1440 K. Проверим значение температуры в момент времени t = 4: T(4) = 1320 + 80 * 4 - 10 * 4^2 = 1320 + 320 - 160 = 1480 > 1440.
• В момент времени t = 4 температура превышает 1440 K, что нам не подходит. Таким образом, надо искать другое время, когда температура равна 1440 K. Подходящим временем будет момент, когда t = 2, то есть 2 минуты.
• Но нам необходимо найти, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Для этого найдем такое время t, когда температура снова станет равна 1440 K, то есть t = 6 минут.
• Теперь проверим, при каком значении времени температура будет равна 1440 K, и в какой момент времени прибор нужно отключать: Найдем среднее арифметическое значение t = 4. Температура при t = 4: T(4) = 1320 + 80 * 4 + (-10) * 4 * 4 = 1320 + 320 - 160 = 1480 > 1440 К Таким образом, прибор нужно отключать раньше, чем через 6 минут.
• Рассмотрим такой случай, когда t = (6 + 2) / 2 = 4 минуты Тогда при t = 4 минуты температура равна 1480 К. Необходимо отключить прибор чуть раньше чем через 4 минуты, но наибольшее значение от 2 до 6 минут это 4 минуты.

Ответ: 4 минуты