Для нагревания некоторого количества газа с молярной массой М = 28 г/моль на DT = 14 К при р = const требуется количество теплоты Q = 10 Дж. Чтобы охладить его на ту же DT при V = const требуется отнять Q = 8 Дж. Определить массу газа в граммах. (Ответ дать с точностью до сотых)

Решение:

Для решения этой задачи нам понадобится первый закон термодинамики и знание теплоемкостей газа при постоянном давлении (C_p) и постоянном объеме (C_v).

Первый закон термодинамики гласит: \( \Delta U = Q - W \), где \( \Delta U \) — изменение внутренней энергии, \( Q \) — полученное тепло, \( W \) — совершенная газом работа.

Для молярной теплоемкости при постоянном давлении: \( Q_p = \nu \cdot C_p \cdot \Delta T \)

Для молярной теплоемкости при постоянном объеме: \( Q_v = \nu \cdot C_v \cdot \Delta T \)

Мы знаем, что \( C_p = C_v + R \), где \( R \) — универсальная газовая постоянная (приблизительно 8.314 Дж/(моль·К)).

Из условия задачи имеем:

1. Нагревание при постоянном давлении: \( Q_{нагр, p} = 10 \text{ Дж} \), \( \Delta T = 14 \text{ К} \), \( M = 28 \text{ г/моль} \).
2. Охлаждение при постоянном объеме: \( Q_{охл, v} = -8 \text{ Дж} \) (отнимается тепло, поэтому отрицательное значение), \( \Delta T = -14 \text{ К} \) (охлаждение на ту же величину DT, то есть изменение температуры -14 К).

Из первого условия: \( 10 = \nu \cdot C_p \cdot 14 \)

Из второго условия: \( -8 = \nu \cdot C_v \cdot (-14) \) => \( 8 = \nu \cdot C_v \cdot 14 \)

Разделим первое уравнение на второе:

\( \frac{10}{8} = \frac{\nu \cdot C_p \cdot 14}{\nu \cdot C_v \cdot 14} = \frac{C_p}{C_v} \)

\( \frac{C_p}{C_v} = 1.25 \)

Теперь воспользуемся соотношением Майера \( C_p = C_v + R \) и подставим \( C_p = 1.25 C_v \):

\( 1.25 C_v = C_v + R \)

\( 0.25 C_v = R \)

\( C_v = \frac{R}{0.25} = 4R \)

\( C_v = 4 \cdot 8.314 \approx 33.256 \text{ Дж/(моль·К)} \)

Теперь найдем молярную теплоемкость при постоянном давлении:

\( C_p = C_v + R = 33.256 + 8.314 = 41.57 \text{ Дж/(моль·К)} \)

Проверим соотношение: \( \frac{C_p}{C_v} = \frac{41.57}{33.256} \approx 1.25 \). Совпадает.

Теперь найдем количество вещества \( \nu \) из уравнения для нагревания:

\( 10 = \nu \cdot C_p \cdot 14 \)

\( \nu = \frac{10}{14 \cdot C_p} = \frac{10}{14 \cdot 41.57} = \frac{10}{581.98} \approx 0.01718 \text{ моль} \)

Теперь найдем массу газа \( m \) по формуле: \( m = \nu \cdot M \)

\( m = 0.01718 \text{ моль} \cdot 28 \text{ г/моль} \approx 0.48104 \text{ г} \)

Округляем до сотых.

Ответ: 0.48 г