1. Для функции у = log1 x: 3 а) постройте эскиз графика; б) укажите область определения; в) область значений; г) нули функции; д) на каких промежутках функция положительна и отрицательна; е) периоды возрастания и убывания функции.

Рассмотрим функцию $$y = \log_{\frac{1}{3}} x$$.

а) Эскиз графика:

       y
       |
       |    /\
       |   /  \
       |  /    \
       | /      \
       |/________\_______ x
       0       /|
              / |
             /  |
            /   |
           /    |
          /     |
         /      |
        /       |
       /        |
      ------------

б) Область определения:

Логарифмическая функция определена только для положительных значений аргумента, поэтому область определения: $$x > 0$$.

в) Область значений:

Логарифмическая функция принимает любые действительные значения, поэтому область значений: $$y \in (-\infty; +\infty)$$.

г) Нули функции:

$$y = \log_{\frac{1}{3}} x = 0$$ при $$x = 1$$.

д) Промежутки, где функция положительна и отрицательна:

Функция положительна при $$0 < x < 1$$, так как $$\log_{\frac{1}{3}} x > 0$$ при $$0 < x < 1$$.

Функция отрицательна при $$x > 1$$, так как $$\log_{\frac{1}{3}} x < 0$$ при $$x > 1$$.

е) Периоды возрастания и убывания функции:

Так как основание логарифма $$a = \frac{1}{3}$$ и $$0 < a < 1$$, то функция убывает на всей области определения, то есть на интервале $$(0; +\infty)$$.

Ответ: а) эскиз графика представлен выше; б) $$(0; +\infty)$$; в) $$(-\infty; +\infty)$$; г) $$x=1$$; д) положительна при $$(0 < x < 1)$$, отрицательна при $$(x > 1)$$; е) убывает на $$(0; +\infty)$$.